置信區間

在統計學中，一個概率樣本的置信區間（英語：confidence interval，CI），是對產生這個樣本的總體的參數分佈（parametric distribution）中的某一個未知參數值，以區間形式給出的估計。相對於點估計（point estimation）用一個樣本統計量來估計參數值，置信區間還蘊含了估計的精確度的資訊。在現代機器學習中越來越常用的信賴集合（confidence set）概念是置信區間在多維分析的推廣^[1]。

置信區間在頻率學派中間使用，其在貝氏統計中的對應概念是可信區間（英語：credible interval）（credible interval）。兩者建立在不同的概念基礎上的，貝氏統計將分佈的位置參數視為隨機變量，並對給定觀測到的數據之後未知參數的後驗分布進行描述，故無論對隨機樣本還是已觀測數據，構造出來的可信區間，其可信水準都是一個合法的概率^[2]；而置信區間的置信水平，只在考慮隨機樣本時可以被理解為一個概率。

定義

對隨機樣本的定義

定義置信區間最清晰的方式是從一個隨機樣本出發。考慮一個一維隨機變量${\displaystyle {\cal {X}}}$服從分佈${\displaystyle {\cal {F}}}$，又假設${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle {\cal {F}}}$的參數之一。假設我們的數據採集計劃將要獨立地抽樣${\displaystyle n}$次，得到一個隨機樣本${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$，注意這裏所有的${\displaystyle X_{i}}$都是隨機的，我們是在討論一個尚未被觀測的數據集。如果存在統計量（統計量定義為樣本${\displaystyle X=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$的一個函數，且不得依賴於任何未知參數）${\displaystyle u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})}$滿足${\displaystyle u(X_{1},\ldots ,X_{n})<v(X_{1},\ldots ,X_{n})}$使得：

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\theta \in \left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)\right)=1-\alpha }$

則稱${\displaystyle \left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)}$為一個用於估計參數${\displaystyle \theta }$的${\displaystyle 1-\alpha }$置信區間，其中的，${\displaystyle 1-\alpha }$稱為置信水平，${\displaystyle \alpha }$在假設檢定中也稱為顯著水平。

對觀測到的數據的定義

接續隨機樣本版本的定義，現在，對於隨機變量${\displaystyle {\cal {X}}}$的一個已經觀測到的樣本${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$，注意這裏用小寫x表記的${\displaystyle x_{i}}$都是已經觀測到的數字，沒有隨機性了，定義基於數據的${\displaystyle 1-\alpha }$置信區間為：

${\displaystyle \left(u(x_{1},\ldots ,x_{n}),v(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)}$

注意，置信區間可以是單尾或者雙尾的，單尾的置信區間中設定${\displaystyle u=-\infty }$或者${\displaystyle v=+\infty }$，具體前者還是後者取決於所構造的置信區間的方向。

初學者常犯一個概念性錯誤，是將基於觀測到的數據所同樣構造的置信區間的置信水平，誤認為是它包含真實未知參數的真實值的概率。正確的理解是：置信水平只有在描述這個同樣構造置信區間的過程（或稱方法）的意義下才能被視為一個概率。一個基於已經觀測到的數據所構造出來的置信區間，其兩個端點已經不再具有隨機性，因此，類似的構造的間隔將會包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知參數的真實值的概率是0或者1，但我們不能知道是前者還是後者^[3]。

例子

例1：正態分佈，已知總體方差 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

${\displaystyle 1-\alpha }$水準的正態置信區間為：

${\displaystyle \left({\bar {x}}-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)}$ (雙尾)

${\displaystyle \left(-\infty ,{\bar {x}}+z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)}$ (單尾)

${\displaystyle \left({\bar {x}}-z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},+\infty \right)}$ (單尾)

以下為方便起見，只列出雙尾置信區間的例子，且區間中用"${\displaystyle \pm }$"進行簡記：

例2：正態分佈，未知總體方差 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

${\displaystyle 1-\alpha }$水準的雙尾正態置信區間為：

${\displaystyle \left({\bar {x}}\pm t_{n-1;\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right)}$

例3：兩個獨立正態樣本

設有兩個獨立正態樣本${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，樣本大小為${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，估計總體均值之差${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}}$，假設總體方差未知但相等：${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$(如果未知且不等就要應用Welch公式（英語：Welch's t-test）來確定t分佈的自由度) ${\displaystyle 1-\alpha }$水準的雙尾正態置信區間為：

${\displaystyle \left({\bar {x}}-{\bar {y}}\pm t_{m+n-2;\alpha /2}\cdot s_{p}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}}\right)}$，其中${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {(m-1)s_{x}^{2}+(n-1)s_{y}^{2}}{m+n-2}}}}$且${\displaystyle s_{x},s_{y}}$分別表示${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的樣本標準差。

常見誤解

從正態分佈產生的50個樣本中得出的50個置信區間

置信區間及置信水平常被誤解，出版的研究也顯示出既使是專業的科學家也常做出錯誤的詮釋。^{[4][5][6][7][8][9]}

• 以95%的置信區間來說，建構出一個置信區間，不代表分佈的參數有95%的概率會落在該置信區間內（也就是說該區間有95%的概率涵蓋了分佈參數）。 ^[10]依照嚴格的頻率學派詮釋，一旦置信區間被建構完全，此區間不是涵蓋了參數就是沒涵蓋參數，已經沒有概率可言。95%概率指的是建構置信區間步驟的可靠性，不是針對一個特定的區間。^[11]內曼本人（置信區間的原始提倡者）在他的原始論文提出此點：^[12]

  「在上面的敘述中可以注意到，概率是指統計學家在未來關心的估計問題。事實上，我已多次說明，正確結果的頻率會趨向於α。考慮到一個樣本已被抽取，[特定端點]也已被計算完成。我們能說在這個特定的例子裏真值[落到端點中]的概率等於α嗎？答案明顯是否定的。參數是未知的常數，無法做出對其值的概率敘述……」

Deborah Mayo針對此點進一步說道：^[13]

「無論如何必須強調，在看到[資料的]數值後，Neyman–Pearson理論從不允許做出以下結論，特定產生的置信區間涵蓋了真值的概率或信心為(1 − α)100%。Seidenfeld的評論似乎源於一種（並非不尋常的）期望值，Neyman–Pearson置信區間能提供他們無法合理提供的，也就是未知參數落入特定區間的概率大小、信心高低或支持程度的測度。隨着Savage (1962)之後，參數落入特定區間的概率可能是指最終精密度的測度。最終精密度的測度令人嚮往而且置信區間又常被(錯誤地)解釋成可提供此測度，然而此解釋是不被保證的。無可否認的，『信賴』二字助長了此誤解。」

• 95%置信區間不代表有95%的樣本資料落在此置信區間。
• 置信區間不是樣本參數的可能值的確定範圍，雖然它常被啟發為可能值的範圍。
• 從一個實驗中算出的一個95%置信區間，不代表從不同實驗得到的樣本參數有95%落在該區間中 ^[8]

構造法

一般來說，置信區間的構造需要先找到一個樞軸變量（pivotal quantity，或稱pivot），其表達式依賴於樣本以及待估計的未知參數(但不能依賴於總體的其它未知參數)，其分佈不依賴於任何未知參數。

下面以上述例2為例，說明如何利用樞軸變量構造置信區間。對於一個正態分佈的隨機樣本${\displaystyle {X_{1},\ldots ,X_{n}}}$，可以證明(此證明對初學者並不容易)如下統計量互相獨立：

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ 和 ${\displaystyle S^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}}$

它們的分佈是：

${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)}$ 和 ${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

所以根據t分佈的定義，有

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}}$

於是反解如下等式左邊括號中的不等式

${\displaystyle \mathbb {P} \left(-t_{n-1;\alpha /2}<t={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S{\sqrt {n}}}}<t_{n-1;\alpha /2}\right)=1-\alpha }$

就得到了例2中雙尾置信區間的表達式。

與參數檢驗的聯繫

有時，置信區間可以用來進行參數檢驗。例如在上面的例1中構造的雙尾${\displaystyle 1-\alpha }$水準置信區間，可以用來檢驗具有相應的顯著水平為${\displaystyle \alpha }$的雙尾對立假設，具體地說是如下檢驗： 正態分佈總體，知道總體方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$，在${\displaystyle \alpha }$顯著水平下檢驗：

${\displaystyle H_{0}:\mu =\mu _{0}}$ vs ${\displaystyle H_{1}:\mu \neq \mu _{0}}$

檢驗方法是：當（且僅當）相應的${\displaystyle 1-\alpha }$水準置信區間不包含${\displaystyle \mu _{0}}$時拒絕虛無假設${\displaystyle H_{0}}$

例1中構造的雙尾${\displaystyle 1-\alpha }$水準置信區間也可以用來檢驗如下兩個顯著水平為${\displaystyle \alpha /2}$的單尾對立假設：

${\displaystyle H_{0}:\mu \leq \mu _{0}}$ vs ${\displaystyle H_{1}:\mu >\mu _{0}}$

和

${\displaystyle H_{0}:\mu \geq \mu _{0}}$ vs ${\displaystyle H_{1}:\mu <\mu _{0}}$

檢驗方法是完全類似的，比如對於上述第一個單尾檢驗${\displaystyle H_{1}:\mu >\mu _{0}}$，當且僅當雙尾置信區間的左端點大於${\displaystyle \mu _{0}}$時拒絕虛無假設。

參考文獻

1. Brittany Terese Fasy; Fabrizio Lecci; Alessandro Rinaldo; Larry Wasserman; Sivaraman Balakrishnan; Aarti Singh. Confidence sets for persistence diagrams. The Annals of Statistics. 2014, 42 (6): 2301–2339.
2. Box, George EP; Tiao, George C. Bayesian inference in statistical analysis. John Wiley & Sons. 2011.
3. Moore, D; McCabe, George P; Craig, B. Introduction to the Practice of Statistics. San Francisco, CA: Freeman. 2012.
4. Kalinowski, Pawel. Identifying Misconceptions about Confidence Intervals (PDF). 2010 [2021-12-22]. （原始內容 (PDF)存檔於2022-01-21）.
5. Archived copy (PDF). [2014-09-16]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04）.
6. Hoekstra, R., R. D. Morey, J. N. Rouder, and E-J. Wagenmakers, 2014. Robust misinterpretation of confidence intervals. Psychonomic Bulletin Review, in press. [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
7. Scientists』 grasp of confidence intervals doesn’t inspire confidence （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Science News, July 3, 2014
8. Greenland, Sander; Senn, Stephen J.; Rothman, Kenneth J.; Carlin, John B.; Poole, Charles; Goodman, Steven N.; Altman, Douglas G. Statistical tests, P values, confidence intervals, and power: a guide to misinterpretations. European Journal of Epidemiology. April 2016, 31 (4): 337–350. ISSN 0393-2990. PMC 4877414 . PMID 27209009. doi:10.1007/s10654-016-0149-3.
9. Helske, Jouni; Helske, Satu; Cooper, Matthew; Ynnerman, Anders; Besancon, Lonni. Can Visualization Alleviate Dichotomous Thinking? Effects of Visual Representations on the Cliff Effect. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics (Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)). 2021-08-01, 27 (8): 3397–3409. ISSN 1077-2626. PMID 33856998. S2CID 233230810. arXiv:2002.07671 . doi:10.1109/tvcg.2021.3073466.
10. Morey, R. D.; Hoekstra, R.; Rouder, J. N.; Lee, M. D.; Wagenmakers, E.-J. The Fallacy of Placing Confidence in Confidence Intervals. Psychonomic Bulletin & Review. 2016, 23 (1): 103–123. PMC 4742505 . PMID 26450628. doi:10.3758/s13423-015-0947-8.
11. 1.3.5.2. Confidence Limits for the Mean. nist.gov. [2014-09-16]. （原始內容存檔於2008-02-05）.
12. Neyman, J. Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability. Philosophical Transactions of the Royal Society A. 1937, 236 (767): 333–380. Bibcode:1937RSPTA.236..333N. JSTOR 91337. doi:10.1098/rsta.1937.0005 .
13. Mayo, D. G. (1981) "In defence of the Neyman–Pearson theory of confidence intervals" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Philosophy of Science, 48 (2), 269–280.

    JSTOR 187185

參考書目

• 羅納德·費雪 (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
• 弗羅因德 (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
• 伊安·海金 (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge
• 齊平 (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
• 傑克·基弗(1977) "Conditional Confidence Statements and Confidence Estimators (with discussion)" Journal of the American Statistical Association, 72, 789–827.
• 澤西·內曼 (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380. (Seminal work.)
• G.K.羅賓遜 (1975) "Some Counterexamples to the Theory of Confidence Intervals." Biometrika, 62, 155–161.