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九九表,又稱九九歌、九因歌,是中國古代籌算中進行十進位制乘法、除法、開方等運算中的基本計算規則,春秋戰國沿用到今日,已有兩千多年。現在小學初年級學生、一些學齡兒童都會背誦。
西方文明古國的古希臘和古巴比倫也發明過乘法表,不過比起九九表要複雜得多。希臘乘法表有1,700多項,而且不夠全面[1]。由於在13世紀之前他們計算乘法、除法十分困難,所以能夠除一個大數的人會被視為數學家[2]。歐洲直到13世紀初都不知道這種簡單的十進位乘法表。13世紀之初,東方的十進位計算方法通過阿拉伯人傳入歐洲,歐洲人發現了他的方便之處,所以學習這個新方法。當時,用新法乘兩個數這類題目,是大學的教材[3]。
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5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | ||||
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | |||
7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | ||
8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | |
9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
中國的學齡前兒童在記憶以上經過簡化的乘法表是通過口訣來記憶的,例如:「一二得二,二二得四,二三得六,二四得八,二五一十,二六十二,二七十四,二八十六,二九十八....」。對於像9×7這樣的計算,孩子們都能條件反射地將較小的乘數調整到前面,並使用口訣「七九六十三」得到結果。由於任何數與1相乘都等於該數自身,所以通常也不用背誦乘數為1的行列,這樣最終需要背誦的口訣只有36句。
一一得一 | ||||||||
一二得二 | 二二得四 | |||||||
一三得三 | 二三得六 | 三三得九 | ||||||
一四得四 | 二四得八 | 三四十二 | 四四十六 | |||||
一五得五 | 二五一十 | 三五十五 | 四五二十 | 五五二十五 | ||||
一六得六 | 二六十二 | 三六十八 | 四六二十四 | 五六三十 | 六六三十六 | |||
一七得七 | 二七十四 | 三七二十一 | 四七二十八 | 五七三十五 | 六七四十二 | 七七四十九 | ||
一八得八 | 二八十六 | 三八二十四 | 四八三十二 | 五八四十 | 六八四十八 | 七八五十六 | 八八六十四 | |
一九得九 | 二九十八 | 三九二十七 | 四九三十六 | 五九四十五 | 六九五十四 | 七九六十三 | 八九七十二 | 九九八十一 |
中國乘法表和其他的乘法表的分別:
古文明 | 進位制 | 乘法表項 | 九九表 | 考古文物 |
---|---|---|---|---|
中國 | 10 | 45 | 有 | 九九表竹簡 |
希臘 | 無 | 無限大 | 無 | 370項不全乘法表 |
羅馬 | 無 | 無限大 | 無 | |
埃及 | 無 | 無限大 | 無 | |
印度 | 無 | 無限大 | 無 | |
巴比倫 | 60 | 1770 | 無 | 平方表 |
瑪雅 | 20 | 190 | 無 |
用乘法表進行乘法運算,並非進位制的必然結果。巴比倫有進位制,但它們並沒有發明或使用九九表式的乘法表,而是發明用平方表法計算乘積。瑪雅人的數學是西方古文明中最先進的,用20進位制,但也沒有發明乘法表。可見從進位制到乘法表是一個不少的進步。
中國春秋戰國時代不但發明了十進位制,還發明九九表。後來東傳入高麗、日本,經過絲綢之路西傳印度、波斯,繼而流行全世界。十進位制和九九表是古代中國對世界文化的一項重要的貢獻。今日世界各國較少使用希臘等國的乘法。
十九世紀末在中國新疆敦煌發現的漢簡,經王國維考證,其中一片出土於流沙的漢簡,是一個九九表的殘簡,從九乘九開始,讀曰九九八十一,八九七十二,七九六十三,八八六十四、七八五十六、六八四十八…… 二二而四共1110個字。之所以以九開始,可能和中國古代《易經》中的崇拜「九」的觀念有關,所以以九九開始為由,稱為九九歌、九因歌、九九表。據日本數學史家上野清研究,中國的九九表和周易六十四卦的排列大有關係[11]。劉徽在《九章算術序》中說:
昔在庖犧氏始畫八卦,以通神明之德,以類萬物之情,作九九之術,以合六爻之變。暨於黃帝神而化之,引而伸之,於是建曆紀,恊律呂,用稽道原,然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱「隸首作數」,其詳未之聞也。按周公制禮而有九數,九數之流,則《九章》是矣。
漢簡九九表長260厘米,寬24厘米。居延漢簡中的九九歌:
敦煌千佛洞《算書》:九九八十一,八九七十二,七九六十三……一二如二,一一如一[13]
敦煌千佛洞《立成算經》:九九八十一,八九七十二,七九六十三……一二如二,一一如一[14]
1981年,深圳市南頭紅花園3號東漢墓出土「乘法口訣銘文磚」,內容為「三九二十七、二九一十八、四九三十六」、「九九八十一、八九七十二、七九六十三、五九四十五」。現在深圳市博物館古代深圳部分展出。
2002年,中國考古學家在湖南一座距今二千多年前的春秋戰國時期的遺址內,發現之今最早的九九歌木簡殘片(里耶秦簡),上有四八三十二、五八四十、六八四十八等字樣[15],這說明乘法在春秋戰國時期支持十進位制的九九歌已經出現。
九九表到了宋朝,變成九九殿後的排列方式。
清華大學藏戰國竹簡(清華簡)第四中的《算表》被中國數學史家確認為目前國內發現最早的「大九九」算具,利用這套大九九《算表》,能夠快速計算100以內的兩個任意整數乘除、乘法和分數1/2的兩位數乘除法[16]。
隋唐時期中國傳入日本的算書包括《九章算術》、《海島算經》、《夏侯陽算經》、《孫子算經》等。
日本現存古算書中有一部源為憲作的《口游》(970年),內錄九九表一則,以九九開始,和孫子算經同。「九九八十一,八九七十二,六九五十四……二二四,一二二,一一一」[17]。日本還出土過飛鳥時代的乘法表。[18]日本足利時代的《拾芥抄》也有九九表[19]。
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