Freshman's dream(中文可譯「新手之夢」)指的是錯誤方程式「 = 」,當中 是一個實數(通常是大於1的正整數)。初階學生經常誤以為括號外的次方可以直接分配給括號內的項[1][2]。其實只要假設 就可以簡單發現方程式並不成立:透過乘法分配律,。至於 值更大的方程式,則可以使用二項式定理計算正確答案。
在熱帶幾何的世界,加法取代了乘法,而極值取代了加法。在此情況下,「Freshman's dream」便是正確[3]。
「Freshman's dream」也可代指另一項定理,,當中 是質數,而 和 是在具有 特徵的交換環上的代數。由於 能夠整除首項和末項以外的二項式系數,使中間的所有項都等於零,所以這個「錯誤」實際上可以做到正確答案[4]。
歷史與別名
1940年一篇有關模曲線的文章中,桑德斯·麥克蘭恩引用斯蒂芬·科爾·克萊尼指出,特徵為2的體中的公式「」,有可能破壞中一新生的代數觀念。此為可追溯的最早將「中一新生之夢」與正特徵體的二項式展開公式連繫起來的言論[5],自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解,其中1974年湯馬士·亨嘉福的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞[6]。別名包括1998年莊·法黎課本中的「Freshman exponentiation」(中文可譯「中一新生之冪」)[7];又鑑於可透過二項式定理計算,因而又被稱爲「小孩的二項式定理」(Child's binomial theorem)[8]或「中學生的二項式定理」(Schoolboy binomial theorem)[9]。
例子
- ,但.
- (即 )在大多數情況下都不等於。例如:,而。
質數定理
當 是質數,而 和 是在具有 特徵的交換環上的代數,那麼 。此理論可透過研究二項式系數的質數因數而論證:
第 n 個二項式系數為 。
由於分子是 的階乘,所以可以被 整除。不過當 之時, 和 都少於 ,因而兩者都不能被整除。但二項式系數必然是整數,因此第 n 個二項式系數可被 整除,交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 p 個二項式系數,因此可證 。結果也證明 p 次方製造了自同態,又稱交換環的弗羅貝尼烏斯自同態[8]。
在此方程中, 必須是質數才可成立。有一相類近的定理指出,當 是質數的話,在多項式環中,。此定理成為現代質數測試中的關鍵[8]。
參見
參考文獻
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