對應域

對應域（英語：Codomain），或稱為陪域、餘定義域、上域、終域、共變域、目標集合。

提示：此條目頁的主題不是值域。

${\displaystyle f}$是一個將所有定義域${\displaystyle X}$(紅色區塊)中的點${\displaystyle x\in X}$對應到點${\displaystyle f(x)\in Y}$的函數。蒐集所有點${\displaystyle f(x)}$的集合(黃色區塊)為函數${\displaystyle f}$的值域，${\displaystyle Y}$(藍色區塊)為${\displaystyle f}$的對應域。

在數學領域中，一個函數的對應域指的是至少包含所有此函數的輸出值的一個集合。在函數符號${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$中，${\displaystyle Y}$是函數${\displaystyle f}$的對應域。

${\displaystyle f}$的值域是${\displaystyle Y}$的一個子集，若${\displaystyle f}$是一個滿射函數，則${\displaystyle f}$的對應域和值域相等，反之則代表有${\displaystyle y\in Y}$不存在於${\displaystyle f}$的值域中，使得方程式${\displaystyle f(x)=y}$無解。

例

例一

定義三個函數：

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ g(x)=x^{2}}$

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x)={\sqrt {x}}}$

其中${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}=\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$。

1. 因為${\displaystyle f(x)=x^{2}}$，函數${\displaystyle f}$的輸出值皆為非負數，所以${\displaystyle f}$的值域為${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$，也就是${\displaystyle [0,\infty )}$區間。又因${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\subset \mathbb {R} }$，即${\displaystyle f}$的對應域不等於值域，所以${\displaystyle f}$不是一個滿射函數。
2. 雖然${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$函數的輸出值相同，但因為兩者的對應域不同，因此不是相同的函數。
3. 因為${\displaystyle f}$的對應域不等於${\displaystyle h}$的定義域，合成函數 ${\displaystyle h\circ f}$為無效的函數。唯有合成符號右側函數的對應域和左側函數的定義域相同時，該合成函數才有效，例如${\displaystyle h\circ g}$。

例二

定義${\displaystyle T}$為介於兩個線性空間的線性變換：

${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle T}$也可以被表達成一個2×2的實數矩陣，代表一個從定義域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$到對應域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的對應方式。 假設

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}}$

則代表把所有定義域中的點${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ 對應到對應域中的點 ${\displaystyle (x,x)\in \mathbb {R} ^{2}}$。由於${\displaystyle T}$的值域只蒐集了所有${\displaystyle x=y}$的點，例如點${\displaystyle (2,3)}$不在${\displaystyle T}$的值域中，但在${\displaystyle T}$的對應域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中，因此${\displaystyle T}$不是一個滿射函數。

在此例中，2×2的矩陣在秩（rank）等於2時，為滿射函數，小於2時則非。對應域和值域是否相等可做為判斷矩陣是否有滿秩（full rank）的依據，因為${\displaystyle T}$的值域小於對應域，所以${\displaystyle T}$沒有滿秩。

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