不等

數學上，不等是表明兩個物件的大小或者順序的二元關係，與相等相對。不等關係主要有四種：

• ${\displaystyle a<b}$，即${\displaystyle a}$小於${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a>b}$，即${\displaystyle a}$大於${\displaystyle b}$

上述兩個屬於嚴格不等。

• ${\displaystyle a\leq b}$，即${\displaystyle a}$小於等於${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a\geq b}$，即${\displaystyle a}$大於等於${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a\neq b}$，即${\displaystyle a}$不等於${\displaystyle b}$

將兩個表達式用不等符號連起來，就構成了不等式。

若不等關係對變量的所有元素都成立，則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變量的部分取值成立，而對另一部分將改變方向或失效，則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數，或者兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等關係改變方向。

符號${\displaystyle a\gg b}$表示${\displaystyle a}$「遠大於」${\displaystyle b}$。其含義是不確定的，可以是 100 倍的差異，也可能是10個數量級的差異。和方程相聯繫，它被用來給出一個非常大的值而使方程的輸出滿足一個特定的結果。

性質

不等具有下列性質：

三一律：

對任意實數${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，只有下列之一是真的：

• ${\displaystyle a<b}$
• ${\displaystyle a=b}$
• ${\displaystyle a>b}$

調換性質：

對任意實數${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$：

• ${\displaystyle a<b}$ 和 ${\displaystyle b>a}$ 是等價的。
• ${\displaystyle a\leq b}$ 和 ${\displaystyle b\geq a}$ 是等價的。

遞移性：

對任意實數${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$：

• 如果 ${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle b<c}$，則 ${\displaystyle a<c}$。
• 如果 ${\displaystyle a\leq b}$ 且 ${\displaystyle b\leq c}$，則 ${\displaystyle a\leq c}$。
• 如果 ${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle b\leq c}$，則 ${\displaystyle a<c}$。
• 如果 ${\displaystyle a\leq b}$ 且 ${\displaystyle b<c}$，則 ${\displaystyle a<c}$。

加法性質：

對任意實數${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$：

• 若 ${\displaystyle a>b}$；則 ${\displaystyle a+c>b+c}$ 。
• 若 ${\displaystyle a<b}$；則 ${\displaystyle a+c<b+c}$。

乘法性質：

對任意實數${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$，且有${\displaystyle c\neq 0}$：

• 若${\displaystyle c}$為 正數 且 ${\displaystyle a>b}$；則 ${\displaystyle ac>bc}$。
• 若${\displaystyle c}$為 正數 且 ${\displaystyle a<b}$；則 ${\displaystyle ac<bc}$ 。
• 若${\displaystyle c}$為 負數 且 ${\displaystyle a>b}$；則 ${\displaystyle ac<bc}$ 。
• 若${\displaystyle c}$為 負數 且 ${\displaystyle a<b}$；則 ${\displaystyle ac>bc}$。

注意：當遇上不等關係求解時，比如已知 ${\displaystyle A>B}$，${\displaystyle C>D}$，不可以認為 ${\displaystyle A-C>B-D}$，但根據此描述可知 ${\displaystyle A-D>B-C}$ 是真的。

連鎖表示法

• ${\displaystyle a<b<c}$ 代表「${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle b<c}$」。
• ${\displaystyle a\leq b\leq c}$ 代表「${\displaystyle a\leq b}$ 且 ${\displaystyle b\leq c}$」。
• ${\displaystyle a<b\leq c}$ 代表「${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle b\leq c}$」。
• ${\displaystyle a\leq b<c}$ 代表「${\displaystyle a\leq b}$ 且 ${\displaystyle b<c}$」。

舉例

• 若${\displaystyle x>0}$ ；則

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},}$

• 若${\displaystyle x>0}$；則

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x\,}$

• 若${\displaystyle x,y,z>0}$；則

${\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,}$

• 若${\displaystyle x,y,z>0}$；則

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},}$

• 若${\displaystyle a,b>0}$；則

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,}$

• 若${\displaystyle a,b>0}$；則

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,}$

• 若${\displaystyle a,b,c>0}$；則

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,}$

• 若${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}>0}$；則

${\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1}$

證明
${\displaystyle a<b}$ (10) [前提] ${\displaystyle c<d}$ (15) [前提] ${\displaystyle a-b<0}$ (20) 源自 (10) ${\displaystyle 0<d-c}$ (25) 源自 (15) (20) 及 (25) 經由遞移性質可以得到 ${\displaystyle a-b<d-c}$ (30) 源自 (20) (25) ${\displaystyle a-b+(b+c)<d-c+(b+c)}$ (35) 源自 (30) ${\displaystyle a+c<b+d}$ (40) 源自 (35) [結論]

• 對於實數 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$，若 ${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle c<d}$；則

  ${\displaystyle a+c<b+d}$

  例-1

證明
${\displaystyle a<b}$ (45) [前提] ${\displaystyle c<d}$ (50) [前提] ${\displaystyle -c>-d}$ (55) 源自 (50) ${\displaystyle -d<-c}$ (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 經由 (例-1) 可以得到 ${\displaystyle a+(-d)<b+(-c)}$ (65) 源自 (45) (60) ${\displaystyle a-d<b-c}$ (70) 源自 (65) [結論]

• 對於實數 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$，若 ${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle c<d}$；則

${\displaystyle a-d<b-c}$

例-2

參見

• 二元關係
• 偏序關係
• 不等號
• 不等式列表