集中趨勢

在統計學中，集中趨勢（central tendency）或中央趨勢，在口語上也經常被稱為平均，表示一個機率分佈的中間值^[1]。最常見的幾種集中趨勢包括算數平均數、中位數及眾數。集中趨勢可以由有限的數組（如一群樣本）中或理論上的機率分配（如常態分佈）中求得。有些人使用集中趨勢（或集中性）這個詞以表示「數量化的資料之中央值的趨勢」^[2][3]。在這種意義下，我們可以利用資數據的離散程度（例如標準偏差或四分差等相似的統計量）判別其集中趨勢的程度。

集中趨勢（central tendency）一詞於1920年代後期出現^[3]。

集中趨勢的統計量

一維資料的集中趨勢可能有以下數種統計方法。在某些情況下，經轉型（英語：Data transformation (statistics)）（data transformation）後的資料才採用以下的方法。

算術平均數

觀測值的總和除以觀測值的個數，即${\displaystyle {\tfrac {x_{1}+x_{2}+x_{3}\ldots +x_{n}}{n}}}$。常簡稱為平均數，也往往是背後機率分佈的期望值之不偏估計。

中位數

將所有觀測值按大小排序後在順序上居中的數值。

眾數

出現最多次的觀測值。

幾何平均數

觀測值的乘積之觀測值個數方根，即${\displaystyle (x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\ldots \times x_{n})^{\frac {1}{n}}}$

調和平均數

觀測值個數除以觀測值倒數的總和，即${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

加權平均數

考慮不同群資料貢獻程度不同時的算數平均數

截尾平均數（truncated mean）

忽略特定比例或特定數值之外的極端值後所得的平均數。例如，四分平均數（英語：Interquartile_mean）（interquartile mean）正是忽略25%前及75%後的資料後所得的算數平均數。

中程數（英語：Midrange）（midrange）又稱全距中值^[4]

最大值與最小值的算數平均數，即${\displaystyle {\frac {\min(x)+\max(x)}{2}}}$。

中樞紐（英語：Midhinge）（midhinge）

第一四分位數與第三四分位數的算數平均數，即${\displaystyle {\frac {Q_{1}+Q_{3}}{2}}}$。

三均值（trimean）

考慮三個四分位數的加權平均數，即${\displaystyle {\frac {Q_{1}+2Q_{2}+Q_{3}}{4}}}$。

極端值調整平均數（英語：Winsorized_mean）（winsorized mean）

以最接近的觀測值取代特定比例的極端值後取得的算數平均數。舉例來說，考慮10個觀測值（由小到大排列為${\displaystyle x_{1}}$至${\displaystyle x_{10}}$）的情況下，10%的極端值調整平均數為

${\displaystyle {\frac {\overbrace {x_{2}+x_{2}} +x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+\overbrace {x_{9}+x_{9}} }{10}}}$，

其中分別以${\displaystyle x_{2}}$和${\displaystyle x_{9}}$取代了${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{10}}$。

以上的統計量在多維變數中仍可單獨地被套用在各個維度上進行，但並不能保證在轉軸後仍維持一致的結果。

平均數、中位數與眾數的關係

在指數分配exp(λ)中，期望值為1/λ而中位數為(ln 2)/λ，二者並不一致。

在左右對稱的機率分佈中，不同的集中趨勢統計量有相同結果，但在偏度遠離0時則可能不一致。在單峰型的機率分佈（unimodal probability distribution）中，平均數（μ）、中位數（ν）與眾數（θ）的關係如下：^[5]

${\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}}$，

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}}}$，

${\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}}$，

其中σ為標準偏差。至於任一機率分佈，^[6][7]

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq 1}$。

參考文獻

1. Weisberg， H. F. (1992) Central Tendency and Variability, Sage University Paper Series on Quantitative Applications in the Social Sciences, ISBN 0-8039-4007-6 p. 2.
2. Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP for International Statistical Institute. ISBN 0-19-920613-9 (entry for "central tendency")
3. Upton, G.; Cook, I. (2008) Oxford Dictionary of Statistics, OUP ISBN 978-0-19-954145-4 (entry for "central tendency")
4. 中程數 mid-range. [2019-12-03]. （原始內容存檔於2019-12-03）.
5. Johnson NL, Rogers CA (1951) "The moment problem for unimodal distributions". Annals of Mathematical Statistics, 22 (3) 433–439
6. Hotelling H, Solomons LM (1932) The limits of a measure of skewness. Annals Math Stat 3, 141–114
7. Garver (1932) Concerning the limits of a mesuare of skewness. Ann Math Stats 3(4) 141–142