阿廷–施萊爾理論

數學中，阿廷–施萊爾理論是伽羅瓦理論的分支，具體地說是庫默爾理論的正特徵|類似物，用於度數等於特徵p的伽羅瓦擴張。 Artin and Schreier （1927）提出了素數度p擴張的阿廷–施萊爾理論， Witt （1936）將其推廣到素數度${\displaystyle p^{n}}$的擴張。

若K是特徵為素數p的域，那麼任何多項式的形式都是

${\displaystyle \forall \alpha \in K,\ X^{p}-X-\alpha ,\,}$

稱作阿廷–施萊爾多項式。若對${\displaystyle \forall \beta \in K,\ \alpha \neq \beta ^{p}-\beta }$，則此多項式在${\displaystyle K[X]}$中不可約，其在K上的分裂域是K的p度循環擴張。這是因為對任何根β，對${\displaystyle 1\leq i\leq p}$，數β + i由費馬小定理構成所有根，因此分裂域是${\displaystyle K(\beta )}$。

反過來，K的任何度數p等於K的特徵的伽羅瓦擴張，都是阿廷–施萊爾多項式的分裂域。這可以用庫默爾理論中的加法對應方法來證明，如希爾伯特定理90與加性伽羅瓦上同調，這些擴張稱為阿廷–施萊爾擴張。

阿廷–施萊爾擴張在根式可解性理論中扮演着重要角色，表示可解鏈中可能的擴張類之一。 它們在阿貝爾簇及其同源理論中也發揮着作用。在特徵p中，阿貝爾簇的p度同源對於函數域而言，或給出阿廷–施萊爾擴張，或給出純不可分擴張。

阿廷–施萊爾–維特擴張

阿廷–施萊爾理論有類似的理論，即 Witt （1936）提出的用維特向量描述p冪（不只是p本身）度的特徵p循環擴張。

參考文獻

• Artin, Emil; Schreier, Otto, Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (Springer Berlin / Heidelberg), 1927, 5: 225–231, ISSN 0025-5858, doi:10.1007/BF02952522
• Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556 Section VI.6
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001 Section VI.1
• Witt, Ernst, Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pⁿ, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1936, 176: 126–140 [2024-02-15], doi:10.1515/crll.1937.176.126, （原始內容存檔於2015-03-26） （German） 引文格式1維護：未識別語文類型 (link)