比恩模型

比恩模型（Bean's model），或臨界態模型（critical state model），是為了解釋第二類超導體的磁化現象而提出的簡化模型，由C·P·比恩於1962年發表^[1][2]。比恩模型可以在宏觀上解釋超導體被不可逆磁化的過程中出現的磁滯現象。

基於比恩模型計算出的超導體的磁化曲線

假設

比恩模型所刻畫的超導體內部場強在x方向上的空間分布隨外加磁場的變化。左圖初始的外加磁場為零（H = 0）；當H大於零且小於臨界磁場H*，超導體內部的磁場分布如紅線所示——場強隨着深度增加呈線性遞減，而中心部分保持超抗磁性，即磁場為零。橙線和黃線分別代表 H = H*，H > H* 的情況。右圖始於左圖的最終狀態（黃線），磁場強度從 H > H* 開始減小然後反向增大，在達到臨界磁場H*之前，超導體內部保持原有的磁場分布；而外側出現了與原臨界電流J_c大小相同，方向相反的超導電流，致使磁場強度分布出現如綠線所示的情況。藍線和紫線分別表示 H = -H*，H < -H* 的情況。

比恩模型考慮的是較強的磁通釘扎（英語：Flux pinning）導致渦旋（英語：Abrikosov vortex）靜止不動的情況。若施加一個均勻的外部磁場，比恩模型假設超導體內部的磁場強度會隨着深度增加呈線性遞減，斜率為4πJ_c/c（高斯單位制下）^[3]，其中J_c為臨界電流密度。此電流代表的是為了抵抗外界磁場而在超導體內部感應出的電流。臨界電流的值在比恩模型中只能取三種值：+J_c、-J_c或0。臨界磁場H*被定義為恰好完全消除超導體內部邁斯納相（即磁場為零的區域）所需的外加磁場。當外加磁場 H < H*，超導體未被外部磁場穿透的部分保持邁斯納相，中心部分的磁場強度為零（右圖中的紅線）。當 H = H*，外部磁場正好完全穿透超導體，內部磁場分布如右圖的橙線所示。繼續在同一方向增加磁場強度並不會改變場強和深度的線性關係，而只會將其整體平移（右圖的黃線）；有人將其與沙堆（sandpile）進行類比^[4][5]：對於一個沙堆，若沙堆的坡度達到了一個「臨界值」，繼續向上堆沙子不會增加沙堆的坡度（若坡度繼續增加，則沙堆可能會因為不穩定而崩塌），而只增加整體的高度。基於這種「臨界」的想法，比恩模型有時也會被稱作「比恩臨界態模型」（Bean's critical state model）。

若撤去外加磁場，超導體的內部將留下剩磁。在逐漸減小正向磁場至零後漸漸增大反向磁場的過程中，超導體內部可以被劃分為兩個區域（右圖中的綠線）：靠近中心的區域的磁場梯度和撤去外場前保持一致，而靠近邊緣的磁場梯度與其符號相反，大小一致。這是因為靠近中心的臨界電流和靠近邊緣的臨界電流大小相等（均為J_c），方向相反。在反向磁場的強度增大到臨界磁場H*以上（H = -H* 和 H < -H*）時，超導體內部再次只剩下一種臨界態，磁場和臨界電流的方向與之前 H = H* 時的方向正好相反（右圖中的藍線和紫線）。^[6]

比恩模型的推廣

雖然比恩假設臨界電流密度J_c為常數（即 H << H_c2 的條件下），但這只是一個比較粗略的估計。假設不同的臨界電流密度可以在其他條件下得到更為精確的結果。例如，Kim 等人通過假設 1/J(H) 正比於 H 對比恩模型進行推廣^[7]，其理論計算結果與 Nb₃Sn 的測量結果相比極為吻合。另外，計算磁化強度時，樣品不同的幾何形狀也是必須考慮的一點^[8]。

另見&nbsp;

• 理想硬超導體（英語：Ideally hard superconductor）
• 超導現象
• 第二類超導體
• 遲滯現象

參考資料

1. Bean, C. P. Magnetization of Hard Superconductors. Physical Review Letters. 1962-03-15, 8 (6): 250–253. doi:10.1103/PhysRevLett.8.250. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)
2. BEAN, CHARLES P. Magnetization of High-Field Superconductors. Reviews of Modern Physics. 1964-01-01, 36 (1): 31–39. doi:10.1103/RevModPhys.36.31. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)
3. Tinkham, Michael. Introduction to superconductivity 2nd ed. Mineola, NY: Dover Publications. 2004: 178. ISBN 0486435032. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
4. Tang, Chao. SOC and the Bean critical state. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1993-03, 194 (1-4): 315–320. doi:10.1016/0378-4371(93)90364-A.
5. Bonabeau, Eric; Lederer, Pascal. Sandpile representation of the Bean state. Physica C: Superconductivity. 1994-12,. 235-240: 2917–2918. doi:10.1016/0921-4534(94)90985-7.
6. Charles P. Poole, Jr.; Horacio A. Farach; Richard J. Creswick; Ruslan Prozorov. Superconductivity (PDF) 2nd. Amsterdam: Academic Press. 2007: 385-406. ISBN 9780120887613.^{[失效連結]}
7. Kim, Y. B.; Hempstead, C. F.; Strnad, A. R. Magnetization and Critical Supercurrents. Physical Review. 1963-01-15, 129 (2): 528–535. doi:10.1103/PhysRev.129.528. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)
8. Schülke, W. A. M. Campbell, J.E. Evetts. Critical Currents in Superconductors - Monographs on Physics. Taylor & Francis Ltd., London 1972. 243 Seiten, 78 Abbildungen, ca. 300 Literaturhinweise Preis broschiert £ 4.00. Kristall und Technik. 1973, 8 (8): K44–K45. doi:10.1002/crat.19730080819. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)