在數學 領域中，對偶 一般來說是以一對一的方式，常常（但並不總是）通過某個對合 算子，把一種概念、公理或數學結構轉化為另一種概念、公理或數學結構：如果A 的對偶是B ，那麼B 的對偶是A 。由於對合有時候會存在不動點 ，因此A 的對偶有時候會是A 自身。比如射影幾何 中的笛沙格定理 ，即是在這一意義下的自對偶。
對偶 在數學背景當中具有很多種意義，而且，儘管它是「現代數學中極為普遍且重要的概念（a very pervasive and important concept in (modern) mathematics）」[ 1] [ 2] [ 2]
在兩類對象之間的對偶很多都和配對 （pairing），也就是把一類對象和另一類對象映射到某一族標量上的雙線性函數相對應。例如，線性代數的對偶對應着把線性空間中的向量對雙線性映射到標量上，廣義函數 及其相關的試驗函數 也對應着一個配對且在該配對中可用試驗函數來對廣義函數進行積分，龐加萊對偶 從給定流形的子流形之間的配對的角度看同樣也對應着交數 。[ 3]
一種特別簡單的對偶形式來自於序理論 。偏序關係P = (X , ≤)的對偶是由同一偏序集組成但關係相反的偏序關係Pd 。我們比較熟悉的對偶偏序的例子有：
任何集合簇上的子集和超集關係
⊂
{\displaystyle \subset }
⊃
{\displaystyle \supset }
為某一偏序P 定義的概念會對應到對偶偏序集Pd 的對偶概念 上。例如，P 的極小元 對應於Pd 的極大元 ：極小和極大是序理論中的對偶概念。序理論中的其他對偶概念還包括上界和下界 、上閉集合 和下閉集合 、理想 和濾子 。
一種特殊的序逆對偶存在於某個集合S 的冪集合中：若
A
¯
=
S
∖
A
{\displaystyle {\bar {A}}=S\setminus A}
補集 ，則
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
B
¯
⊂
A
¯
{\displaystyle {\bar {B}}\subset {\bar {A}}}
開集 和閉集 是對偶概念：開集的補是閉的，反之亦然。在擬陣 論中，某個給定擬陣的獨立集合的補集簇形成另一個擬陣，稱作對偶擬陣。在邏輯 中，我們可以把非量化公式中變量的成真賦值 表示為對該賦值為真的變量集合。成真賦值滿足該公式當且僅當該成真賦值的補滿足該公式的德摩根定律 。邏輯中的全稱量詞和存在量詞也是類似的對偶。
偏序可以解釋為範疇 ，在該範疇中存在從x 到y 的arrow當且僅當偏序中有x ≤ y 。偏序的序逆對偶可擴展為對偶範疇 的概念，即由給定範疇中所有arrow的逆所組成的範疇。後面將要描述的很多具體的對偶都是在此意義下的範疇的對偶。
The features of the cube and its dual octahedron correspond one-for-one with dimensions reversed. 存在着很多種不同但互相聯繫的在同一類幾何或拓撲對象之間的對偶，不過具有對偶關係的對象在特徵維數上是相反的。這方面的經典例子是正多面體 的對偶，其中立方體和正八面體形成了一個對偶配對，正十二面體和正二十面體形成了另一個對偶配對，而正四面體是自對偶 的。任何一種這類多面體的對偶多面體 可作為主要多面體每一面中心點的凸包 。
Kostrikin, A. I., Duality , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .Gowers, Timothy, III.19 Duality, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press: 187–190, 2008 .Cartier, Pierre, A mad day's work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry , American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 2001, 38 (4): 389–408, ISSN 0002-9904 doi:10.1090/S0273-0979-01-00913-2 MR 1848254 (a non-technical overview about several aspects of geometry, including dualities)Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali , The concept of duality for measure projections of convex bodies, Journal of functional analysis, 2008, 254 (10): 2648–2666, doi:10.1016/j.jfa.2007.11.008 . Also author's site （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）.Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali , A characterization of the concept of duality , Electronic research announcements in mathematical sciences, 2007, 14 : 42–59 [2011年4月13日] , （原始內容 存檔於2011年7月24日） . Also author's site （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）.Dwyer, William G.; Spaliński, J., Homotopy theories and model categories, Handbook of algebraic topology , Amsterdam: North-Holland: 73–126, 1995 [2021-09-09 ] , MR 1361887 , （原始內容存檔 於2021-02-09） Fulton, William , Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993, ISBN 978-0-691-00049-7Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph , Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, 1994, ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523 Hartshorne, Robin , Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics 20 , Berlin, New York: Springer-Verlag: 20–48, 1966Hartshorne, Robin , Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verla, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9OCLC 13348052 MR 0463157 Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3MR 842190 Joyal, André ; Street, Ross , An introduction to Tannaka duality and quantum groups, Category theory (Como, 1990) (PDF) , Lecture notes in mathematics 1488 , Berlin, New York: Springer-Verlag: 413–492, 1991 [2011-04-13 ] , MR 1173027 , （原始內容存檔 (PDF) 於2017-08-10）Lam, Tsit-Yuen, Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294 Lang, Serge , Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 , Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556 Loomis, Lynn H., An introduction to abstract harmonic analysis, Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc.: pp. x+190, 1953 Mac Lane, Saunders , Categories for the Working Mathematician 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-0-387-98403-2Mazur, Barry , Notes on étale cohomology of number fields, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série, 1973, 6 : 521–552, ISSN 0012-9593 MR 0344254 Milne, James S., Étale cohomology, Princeton University Press, 1980, ISBN 978-0-691-08238-7 Milne, James S., Arithmetic duality theorems 2nd, Charleston, SC: BookSurge, LLC, 2006 [2011-04-13 ] , ISBN 978-1-4196-4274-6MR 2261462 , （原始內容存檔 於2021-02-09） Negrepontis, Joan W., Duality in analysis from the point of view of triples, Journal of Algebra, 1971, 19 (2): 228–253, ISSN 0021-8693 doi:10.1016/0021-8693(71)90105-0 MR 0280571 Veblen, Oswald ; Young, John Wesley, Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965, MR 0179666 Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1994, ISBN 978-0-521-55987-4MR 1269324 
