B,C,K,W系統

1930年哈斯凱爾·加里在他的博士論文《Grundlagen der kombinatorischen Logik》中提議了一個組合子邏輯系統。它帶有基本組合子B、C、K和W（採用了現在的命名）。

定義

• B x y z = x(y z)
• C x y z = x z y
• K x y = x
• W x y = x y y

直覺上，

• B x y是函數複合x o y
• C x y z交換參數y和z
• K x y忽略第二個參數y
• W x y複製參數y

在當代，只有兩個基本組合子K和S的SKI組合子演算成為了組合子邏輯的規范方式。B, C和W可以使用S和K表達為如下：

• B = S (K S) K
• C = S (S (K (S (K S) K)) S)(K K)
• K = K
• W = S S（K (S K K))

在另一個方向上，SKI可以依據B,C,K,W定義為：

• I = W K
• K = K
• S = B (B (B W) C) (B B)^[1] = B (B B B W B) C

與直覺主義邏輯的連結

組合子 ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle K}$ 和 ${\displaystyle W}$ 對應於眾所周知的命題邏輯四公理：

AB: (B → C) → ((A → B) → (A → C)),

AC: (A → (B → C)) → (B → (A → C)),

AK: A → (B → A),

AW: (A → (A → B)) → (A → B).

而函數應用對應於肯定前件

MP: 如果 A 且 A → B，則 B。

公理 AB, AC, AK 和 AW 以及函數應用規則 MP 對於直覺邏輯的蘊涵片段是完整的。為了使組合邏輯能模型化為直覺邏輯：

• 古典邏輯的蘊涵命題演算，需要與排中律相結合，例如，皮爾士定律;
• 完整的古典邏輯，需以組合子模擬到命題公式 F → A。

參見

• 組合子邏輯
• SKI組合子演算

引用

• Hendrik Pieter Barendregt（1984）The Lambda Calculus, Its Syntax and Semantics, Vol. 103 in Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North-Holland. ISBN 978-0-444-87508-2
• Haskell Curry（1930）"Grundlagen der kombinatorischen Logik," Amer. J. Math. 52: 509-536; 789-834.
• Curry, Haskell B.; J. Roger Hindley, and Jonathan P. Seldin. Combinatory Logic Vol. II 2. Amsterdam: North Holland. 1972. ISBN 978-0-7204-2208-5. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Raymond Smullyan（1994）Diagonalization and Self-Reference. Oxford Univ. Press.

注釋

1. Raymond Smullyan（1994）Diagonalization and Self-Reference. Oxford Univ. Press: 344, 3.6(d).

外部連結

• Keenan, David C. (2001) "To Dissect a Mockingbird."
• Rathman, Chris, "Combinator Birds.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"
• ""Drag 'n' Drop Combinators (Java Applet)."