Atan2

在三角函數中，兩個參數的函數${\displaystyle \operatorname {atan2} }$是正切函數${\displaystyle \tan }$的一個變種。對於任意不同時等於0的實參數${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$所表達的意思是坐標原點為起點，指向${\displaystyle (x,y)}$的射線在坐標平面上與x軸正方向之間的角的角度。當${\displaystyle y>0}$時，射線與x軸正方向的所得的角的角度指的是x軸正方向繞逆時針方向到達射線旋轉的角的角度；而當${\displaystyle y<0}$時，射線與x軸正方向所得的角的角度指的是x軸正方向繞順時針方向達到射線旋轉的角的角度。

在幾何意義上，${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$等價於${\displaystyle \operatorname {atan} ({\frac {y}{x}})}$，但${\displaystyle \operatorname {atan2} }$的最大優勢是可以正確處理${\displaystyle x=0}$而${\displaystyle y\neq 0}$的情況，而不必進行會引發除零異常的${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$操作。

${\displaystyle \operatorname {atan2} }$函數最初在計算機編程語言中被引入，但是現在它的應用在科學和工程等其他多個領域十分常見。他的出現最早可以追溯到FORTRAN語言^[1]，並且可以在C語言的數學標準庫的math.h文件中找到，此外在Java數學庫、.NET的System.Math（可應用於C#、VB.NET等語言）、Python的數學模塊以及其他地方都可以找到atan2的身影。許多腳本語言，比如Perl，也包含了C語言風格的atan2函數^[2]。

函數定義

該函數基於值域為 ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 的反正切函數，定義如下：

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}$

說明:

• 該函數的值域為${\displaystyle \left(-\pi ,\pi \right]}$，可以通過對負數結果加${\displaystyle 2\pi }$的方法，將函數的結果映射到${\displaystyle \left[0,2\pi \right)}$範圍內。

其他軟件中的變形

不同計算機語言中該函數的實現各有差異。

vb6:

atan2(x,y)=

(x<>0+y<>0)*

(x<=0)*2*Atn(sgn(y)^sgn(y))/2^(x<>0)-

(x<>0)*Atn(y*x^(x<>0))

adodb.connect.execute:

SELECT (x<>0+y<>0)*(x<=0)*2*Atn(sgn(y)^sgn(y))/2^(x<>0)-(x<>0)*Atn(y*x^(x<>0)) AS AT_ FROM (SELECT Col1 AS x,Col2 AS y) T_

(x<>0+y<>0)可省略

有關圖片

單位圓內的atan2取值

旁邊的圖片顯示內容是：在一個單位圓內${\displaystyle \operatorname {atan2} }$函數在各點的取值。圓內標註代表各點的取值的幅度表示。

圖片中，從最左端開始，角度的大小隨着逆時針方向逐漸從${\displaystyle -\pi }$增大到${\displaystyle +\pi }$，並且角度大小在點位於最右端時，取值為0。

另外要注意的是，函數${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$中參數的順序是倒置的，${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$計算的值相當於點${\displaystyle (x,y)}$的角度值。

下方的圖片顯示的是單位圓上各點在atan2函數上的值，從原點射向${\displaystyle (0,1)}$點的射線，開始繞逆時針方向可以與x軸正方向得到對應各點的複平面的復角，其中幾個特殊點取值：

• ${\displaystyle (0,1)}$對應的複平面夾角為${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$，
• ${\displaystyle (-1,0)}$對應複平面的夾角為${\displaystyle \pi }$，
• ${\displaystyle (0,-1)}$對應複平面的夾角為${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$，
• 回到${\displaystyle (1,0)}$複平面的夾角為${\displaystyle 0=(2n\pi \mod 2\pi )}$。

這些你可以直觀地從圖中看出。^[3]

下面的插圖分別顯示的是${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$和${\displaystyle \operatorname {atan} ({\frac {y}{x}})}$在坐標平面的三維景象。

注意在${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$函數中，從原點輻射出的射線上有常數值，而在${\displaystyle \operatorname {atan} ({\frac {y}{x}})}$的函數中，經過原點的直線有常數值。

參考文獻

1. Organick, Elliott I. A FORTRAN IV Primer. Addison-Wesley. 1966: 42. Some processors also offer the library function called ATAN2, a function of two arguments (opposite and adjacent).
2. The Linux Programmer's Manual [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） says:

   "The atan2() function calculates the arc tangent of the two variables y and x. It is similar to calculating the arc tangent of y / x, except that the signs of both arguments are used to determine the quadrant of the result."

3. Computation of the external argument by Wolf Jung. [2011-04-10]. （原始內容存檔於2011-07-14）.

參見

• 輻角
• 複數
• 反三角函數中的反正切（正切函數的反函數）

外部連結

• Java 1.6 SE JavaDoc（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• C++ Programmer's Reference（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）