魏爾施特拉斯逼近定理

斯通-魏爾施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有兩個：

• 閉區間上的連續函數可用多項式級數一致逼近。
• 閉區間上周期為${\displaystyle 2\pi }$的連續函數可用三角函數級數一致逼近。

第一逼近定理可以推廣至${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的有界閉集

證明

• 第一逼近定理與第二逼近定理可以互相推導^[1][2]。
• 第二逼近定理的證明：

設${\displaystyle f(t)}$為周期為${\displaystyle 2\pi }$的連續函數，定義${\displaystyle f_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}a^{\left|n\right|}e^{int}}$為一三角級數。 首先證明${\displaystyle \left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty }^{+\infty }}$，為一個正交函數系：

${\displaystyle \langle e^{int},e^{imt}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(n-m)t}\,dt=0}$

${\displaystyle \langle e^{int},e^{int}\rangle =||e^{int}||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|e^{int}\right|^{2}\,dt=1}$(因為${\displaystyle \left|e^{int}\right|=1}$)。 故令${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{int}}$，於是我們可以求出${\displaystyle c_{n}=\langle f(t),e^{int}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}f(t)e^{-int}\,dt}$。 將${\displaystyle c_{n}}$代入 ${\displaystyle f_{a}(t)}$ 的定義式中，有：

${\displaystyle f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)})f(s)\,ds}$。

下面對積分號中的和式S求和，令${\displaystyle w=ae^{i(t-s)}}$，那麼就有：${\displaystyle S=...+{\bar {w}}^{2}+{\bar {w}}+1+w+w^{2}+...}$，分成正負兩部分求和，可知:

${\displaystyle S=1+W+{\bar {W}}=1+2Re\{W\}={\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}}$ 代回原積分，有${\displaystyle f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}f(s)\,ds}$，這就是f(s)的泊松積分。其中${\displaystyle p_{a}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(\theta )+a^{2}}}}$稱為泊松核。故有：

${\displaystyle f_{a}(t)=\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)f(t-x)\,dx}$

我們要檢驗的的是${\displaystyle \left|f_{a}(t)-f(t)\right|}$在${\displaystyle a\to 1}$時的情況，可以證明：

${\displaystyle \left|f_{a}(t)-f(t)\right|<\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx}$

由${\displaystyle f(t)}$的一致連續性，可以證明，上式在${\displaystyle a\to 1}$時，滿足一致收斂的條件，故我們可以用${\displaystyle f_{a}(t)}$來一致逼近${\displaystyle f(t)}$。

參閱

• 傅里葉級數