魏爾施特拉斯逼近定理

斯通—魏爾施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一個分析學上的定理，其描述了在緊緻豪斯多夫空間${\displaystyle (X,\tau )}$上的實數連續函數${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )}$能夠被較小的函數集逼近的條件。

定義

對於緊緻豪斯多夫空間 ${\displaystyle (X,\tau )}$以及${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，我們定義

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一個代數 (algebra) 如果${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一個實數子空間，並且對於所有${\displaystyle f,g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle fg\in {\mathcal {A}}}$。
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分離相異點(separates points)如果對於所有相異${\displaystyle x,y\in X}$，存在${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$使得${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$。
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一個晶格 (lattice) 如果對於所有${\displaystyle f,g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle \min(f,g),\max(f.g)\in {\mathcal {A}}}$。

敘述

對於緊緻豪斯多夫空間 ${\displaystyle (X,\tau )}$以及分離相異點的閉子代數${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，那麼${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是以下兩個情況之一：

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {R} )}$；
2. 存在一個${\displaystyle x_{0}\in X}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}}$。

且(1)若且唯若${\displaystyle 1\in {\mathcal {A}}}$；(2)若且唯若存在${\displaystyle x_{0}\in X}$使得對於所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle g(x_{0})=0}$。

注意：由於${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的${\displaystyle x_{0}}$是唯一的。

證明[1]

引理Ａ：如果將${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$視為一個實數向量空間，且兩向量間乘法定義為${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})\mapsto (x_{1}x_{2},y_{1}y_{2})}$，那麼${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$是個代數。且所有子代數只能是以下幾個情況：

1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$；
2. ${\displaystyle \{(0,0)\}}$；
3. ${\displaystyle v}$的線性生成空間，其中${\displaystyle v=(1,0),(0,1),(1,1)}$。

證明：顯然，(1), (2)跟(3)都是子代數。如果${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$是一個子代數，那麼因為${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一個子空間。那麼如果${\displaystyle \dim({\mathcal {A}})=0,2}$，對應到(1), (2)。如果${\displaystyle \dim({\mathcal {A}})=1}$，那麼存在一個非零向量${\displaystyle v=(a,b)}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}={\text{span}}(v)}$。那麼因為${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一個代數，存在${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$使得${\displaystyle a^{2}=\lambda a,b^{2}=\lambda b}$。所以${\displaystyle a(\lambda -a)=0,b(\lambda -b)=0}$ 。如果${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$，那麼${\displaystyle a=b=\lambda }$，對應到(3)中${\displaystyle v=(1,1)}$的情況；如果${\displaystyle a,b}$其一非零，則對應到(3)中${\displaystyle v=(0,1),(1,0)}$的情況。${\displaystyle \square }$

引理B：對於豪斯多夫空間${\displaystyle X}$和分離相異點的子代數${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，以及相異點${\displaystyle x,y\in X}$，定義${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}=\{(g(x),g(y)):g\in {\mathcal {A}}\}}$。那麼只能是以下兩個情況：

1. 對於所有相異${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}}$。
2. 存在一組相異${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}}$。

另外，(2)等價於存在一個${\displaystyle x_{0}\in X}$使得對於所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle g(x_{0})=0}$。

注意：由於${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的${\displaystyle x_{0}}$是唯一的。

證明：顯然，對於所有相異${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}}$是一個子代數。根據引理A，只需要證明對於所有相異${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}}$不可能是${\displaystyle {\text{span}}\{(1,1)\},{\text{span}}\{(0,0)\}}$，但這顯然成立，因為${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分離相異點以及。 接著證明(2)的等價：如果存在一組相異${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}}$，那麼根據${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}}$的定義，存在一個${\displaystyle x_{0}\in X}$使得對於所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle g(x_{0})=0}$。相反地，如果存在一個${\displaystyle x_{0}\in X}$使得對於所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle g(x_{0})=0}$，那麼對於所有相異於${\displaystyle x_{0}}$的${\displaystyle y\in X}$，我們有${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{x_{0}}y}={\text{span}}\{(0,1)\}}$。${\displaystyle \square }$

引理C：對於任意${\displaystyle \epsilon >0}$，存在一個實多項式${\displaystyle P}$使得${\displaystyle P(0)=0}$，且對於所有${\displaystyle x\in [-1,1]}$，${\displaystyle ||x|-P(x)|<\epsilon }$。

證明：令${\displaystyle P_{0}\equiv 0}$，${\displaystyle P_{n+1}(x)=P_{n}(x)+{\frac {x^{2}-P_{n}^{2}(x)}{2}}}$。那麼根據數學歸納法可以證明：

1. 對於所有${\displaystyle x\in [-1,1]}$，${\displaystyle 0\leq P_{n}(x)\leq P_{n+1}(x)\leq |x|}$。
2. 對於所有${\displaystyle x\in [-1,1]}$，${\displaystyle ||x|-P_{n}(x)|\leq |x|\left(1-{\frac {|x|}{2}}\right)^{n}}$。

因為${\displaystyle |x|\left(1-{\frac {|x|}{2}}\right)^{n}\leq {\frac {1}{n+1}}}$，得證。${\displaystyle \square }$

引理D：對於緊緻豪斯多夫空間${\displaystyle X}$和閉子代數${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，如果${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，那麼${\displaystyle |g|\in {\mathcal {A}}}$，且${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一個晶格。

證明：對於非零函數${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，令${\displaystyle h={\frac {g}{\lVert g\rVert _{\infty ,X}}}}$，其中${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{\infty ,X}}$是在${\displaystyle X}$上的無窮範數。那麼因為${\displaystyle -1\leq h\leq 1}$根據引理C，存在一個存在一個實多項式${\displaystyle P}$使得${\displaystyle P(0)=0}$，且對於所有${\displaystyle x\in X}$，有${\displaystyle ||h(x)|-P(h(x))|<\epsilon }$。因為${\displaystyle P(0)=0}$，所以${\displaystyle P(h(x))\in {\mathcal {A}}}$。因為${\displaystyle \epsilon >0}$是任意的，所以${\displaystyle |h|\in {\mathcal {A}}\implies |g|=\lVert g\rVert _{\infty ,X}|h|\in {\mathcal {A}}}$。對於任意${\displaystyle f_{1},f_{2}\in {\mathcal {A}},\max(f_{1},f_{2})={\frac {|f_{1}-f_{2}|+(f_{1}+f_{2})}{2}}\in {\mathcal {A}},\min(f_{1},f_{2})=-\max(-f_{1},-f_{2})\in {\mathcal {A}}}$。 ${\displaystyle \square }$

引理E：對於緊緻豪斯多夫空間${\displaystyle X}$和閉晶格${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，如果${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$，且對於所有${\displaystyle x,y\in X}$，存在${\displaystyle g_{xy}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle g_{xy}(x)=f(x),g_{xy}(y)=f(y)}$，那麼${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$。

證明： 給定${\displaystyle \epsilon >0}$，對於所有${\displaystyle x,y\in X}$，令${\displaystyle U_{xy}=\{z\in X:f(z)<g_{xy}(z)+\epsilon \},V_{xy}=\{z\in X:f(z)>g_{xy}(z)-\epsilon \}}$。那麼根據條件，對於所有${\displaystyle x,y\in X}$，${\displaystyle x,y\in U_{xy}\cap V_{xy}}$。於是對於任意${\displaystyle y\in X}$，${\displaystyle {\left\{U_{xy}\right\}}_{x\in X}}$是一個${\displaystyle X}$的開覆蓋。因此存在${\displaystyle n_{y}\in \mathbb {N} }$使得${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n_{y}}U_{x_{j}y}}$。注意到這等價於對所有${\displaystyle z\in X}$，存在一個${\displaystyle j=1,\cdots ,n_{y}}$使得${\displaystyle f(z)<g_{x_{j}y}(z)+\epsilon }$。於是，如果令${\displaystyle g_{y}(z)=\max _{j=1,\cdots ,n_{y}}g_{x_{j}y}(z)}$，那麼對於所有${\displaystyle z\in X,f(z)<g_{y}(z)+\epsilon }$且對於所有${\displaystyle z\in \bigcap _{j=1}^{n_{y}}V_{{x_{j}}y},f(z)>g_{y}(z)-\epsilon }$。令${\displaystyle V_{y}=\bigcap _{j=1}^{n_{y}}V_{x_{j}y}}$，那麼因為${\displaystyle \left\{V_{y}\right\}_{y\in X}}$是是一個${\displaystyle X}$的開覆蓋。存在${\displaystyle y_{1},\cdots ,y_{m}\in X}$使得${\displaystyle X=\bigcup _{k=1}^{m}V_{y_{k}}}$。令${\displaystyle g=\min _{k=1,\cdots ,m}g_{y_{k}}}$。於是${\displaystyle \lVert f-g\rVert _{\infty ,X}<\epsilon }$。因為${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是個閉晶格，${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}\implies f\in {\mathcal {A}}}$。${\displaystyle \square }$

定理證明：

我們宣稱以下等價：

1. 對於所有相異${\displaystyle x,y\in X}$，${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}}$，其中${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}}$如引理B中所述；
2. ${\displaystyle 1\in {\mathcal {A}}}$；
3. ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {R} )}$。

顯然，我們有(3)${\displaystyle \implies }$(2)。假設(2)成立，那麼${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}}$就不可能是${\displaystyle {\text{span}}\{(0,1)\},{\text{span}}\{(1,0)\}}$。所以根據引理Ｂ，(1) 成立。假設(1)成立，那麼給定任意${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$以及相異${\displaystyle x,y\in X}$，有${\displaystyle (f(x),f(y))\in \mathbb {R} ^{2}={\mathcal {A}}_{xy}}$，所以存在${\displaystyle g_{xy}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle (f(x),f(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))}$。另外，對於${\displaystyle x\in X}$，根據引理B中(2)的等價，存在${\displaystyle g_{x}\in {\mathcal {A}}}$使得對於${\displaystyle g_{x}(x)\neq 0}$。因此${\displaystyle f(x)={\widetilde {g}}(x)}$，其中${\displaystyle {\widetilde {g}}:={\frac {f(x)}{g_{x}(x)}}g_{x}\in {\mathcal {A}}}$。於是，根據引理D以及引理E，${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$。因為${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$是任意的，(3)成立。

類似地，我們宣稱以下等價：

1. 存在相異${\displaystyle x,y\in X}$，${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}{(0,1)},{\text{span}}{(1,0)}}$，其中${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}}$如引理B中所述；
2. 存在${\displaystyle x_{0}\in X}$使得對於所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}},g(x_{0})=0}$；
3. 存在${\displaystyle x_{0}\in X}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}}$。

(1)${\displaystyle \iff }$(2)已由引理B給出且(3)${\displaystyle \implies }$(2)顯然。因此，僅須證明(2)${\displaystyle \implies }$(3)。假設(2)成立，那麼顯然有${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}}$。注意到因為${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分離相異點，該${\displaystyle x_{0}}$唯一。 給定${\displaystyle g\in C(X,\mathbb {R} )}$且${\displaystyle g(x_{0})=0}$。給定相異${\displaystyle x,y\in X}$，如果${\displaystyle x,y\neq x_{0}}$，那麼根據引理B (的證明)，${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}}$，所以存在${\displaystyle g_{xy}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle (g(x),g(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))}$。如果${\displaystyle x,y}$其一為${\displaystyle x_{0}}$，那麼根據${\displaystyle x_{0}}$的唯一性，${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}}$，因此一樣有${\displaystyle g_{xy}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle (g(x),g(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))}$。

給定任意${\displaystyle x\in X}$，如果${\displaystyle x=x_{0}}$，那麼${\displaystyle g(x_{0})=0(x_{0})}$，其中${\displaystyle 0\in {\mathcal {A}}}$指零函數。如果${\displaystyle x\neq x_{0}}$，那麼根據${\displaystyle x_{0}}$的唯一性，存在${\displaystyle g_{x}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle g_{x}(x)\neq 0}$，因此${\displaystyle g(x)={\widetilde {g}}(x)}$，其中${\displaystyle {\widetilde {g}}:={\frac {g(x)}{g_{x}(x)}}g_{x}\in {\mathcal {A}}}$。於是，根據引理D以及引理E，${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$。因為${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$是任意的，(3)成立。

非緊緻空間[1]

根據亞歷山德羅夫緊化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間中，敘述如下：

敘述：給定一個非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間${\displaystyle X}$以及在${\displaystyle X}$在無窮遠處消失(vanishes at infinity)的實連續函數集${\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {R} )}$ (也就是說，對於任意${\displaystyle \epsilon >0}$，${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \}}$是一個緊緻集)。如果${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C_{0}(X,\mathbb {R} )}$使一個分離相異點的閉子代數，那麼${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是以下兩個情況之一：

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C_{0}(X,\mathbb {R} )}$；
2. 存在一個${\displaystyle x_{0}\in X}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{g\in C_{0}(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}}$。

複數域[1]

在複數域中，包含常數函數${\displaystyle 1}$的閉子代數${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {C} )}$ 並不會都與${\displaystyle C(X,\mathbb {C} )}$相等。不過如果${\displaystyle {\mathcal {A}}}$對於共軛映射${\displaystyle g\mapsto {\bar {g}}}$封閉，那麼有類似的結論：

敘述：對於緊緻豪斯多夫空間 ${\displaystyle (X,\tau )}$以及分離相異點，且對共軛封閉的的閉子代數${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {C} )}$，那麼${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是以下兩個情況之一：

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {C} )}$；
2. 存在一個${\displaystyle x_{0}\in X}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {C} ):g(x_{0})=0\}}$。