魏爾斯特拉斯橢圓函數

在數學中，魏爾斯特拉斯橢圓函數（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 ${\displaystyle \wp }$ 符號表示，是格外簡單的一類橢圓函數，也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。

魏爾斯特拉斯p函數的符號

定義

固定 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中的格 ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2}}$（ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ 在 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上線性無關），對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}}$。

顯然右式只與格 ${\displaystyle \Lambda \,}$ 相關，無關於基 ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\,}$ 之選取。${\displaystyle \Lambda \,}$ 的元素也稱作週期。

另一方面，格 ${\displaystyle \Lambda \,}$ 在取適當的全純同態 ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ 後可表成 ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau }$，其中 ${\displaystyle \tau \,}$ 屬於上半平面。對於這種形式的格，

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}}$。

反之，由此亦可導出對一般的格之公式

${\displaystyle \wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}})>0)}$

在數值計算方面，${\displaystyle \wp }$ 可以由Θ函數快速地計算，方程是

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]}$

• 在週期格中的每個點，${\displaystyle \wp }$ 有二階極點。
• ${\displaystyle \wp }$ 是偶函數。
• 複導函數 ${\displaystyle \wp '}$ 是奇函數。

加法定理

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{pmatrix}}=0}$

假設 ${\displaystyle u+v+w=0}$，上式有一個較對稱的版本

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{pmatrix}}=0}$

此外

${\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).}$

魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式：若 ${\displaystyle 2z}$ 不是週期，則

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),}$

微分方程與積分方程

定義 ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$（依賴於 ${\displaystyle \Lambda }$）為

${\displaystyle g_{2}:=60\sum _{w\in \Lambda }'w^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}:=120\sum _{w\in \Lambda }'w^{-6}}$

求和符號 ${\displaystyle \sum '_{w}}$ 意謂取遍所有非零的 ${\displaystyle w}$。當 ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau }$ 時，它們可由艾森斯坦級數 ${\displaystyle G_{4},G_{6}}$ 表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$。

故 ${\displaystyle z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))}$ 給出了從複環面 ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ 映至三次複射影曲線 ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}$ 的全純映射；可證明這是同構。

另一方面，將上式同除以 ${\displaystyle \wp '}$，積分後可得

${\displaystyle z_{1}-z_{2}=\int _{\wp (z_{1})}^{\wp (z_{2})}{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}}$。

右側是複平面上的路徑積分，對不同的路徑 ${\displaystyle \wp (z_{1})\to \wp (z_{2})}$，其積分值僅差一個 ${\displaystyle \Lambda }$ 的元素；所以左式應在複環面 ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ 中考慮。在此意義下，魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。

模判別式

續用上節符號，模判別式 ${\displaystyle \Delta }$ 定義為下述函數

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$

視為週期格的函數，這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。

文獻

• Stein. Complex Analysis.
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部連結

• Weierstrass's elliptic functions on Mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page.