有理映射

在代數幾何中，有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。

定義

固定概形 ${\displaystyle V,W}$。考慮所有的資料 ${\displaystyle (U,f)}$，其中 ${\displaystyle U\subset V}$ 是稠密開集，而 ${\displaystyle f:U\to W}$ 是態射；這些資料代表了 ${\displaystyle U}$ 上「部份定義」的態射，${\displaystyle U}$ 代表 ${\displaystyle f}$ 的定義域。定義下述等價關係：

${\displaystyle (U,f)\sim (U',g)\iff f|_{U\cap U'}=g|_{U\cap U'}}$

此外，注意到稠密性保證 ${\displaystyle U\cap U'}$ 也是 ${\displaystyle V}$ 中的稠密開集。當 ${\displaystyle V}$ 不可約，則所有非空開集都是稠密的。若再假設 ${\displaystyle V}$ 既約而 ${\displaystyle W}$ 是分離概形，則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形 ${\displaystyle V}$ 到 ${\displaystyle W}$ 的有理映射 ${\displaystyle f}$ 是其中的一個等價類 ${\displaystyle [U,f]}$。

若 ${\displaystyle f}$ 是從 ${\displaystyle U}$ 到 ${\displaystyle V}$，${\displaystyle g}$ 是從 ${\displaystyle V}$ 到 ${\displaystyle W}$ 的有理映射，則一般並不能定義其合成 ${\displaystyle g\circ f}$。但是當 ${\displaystyle f}$ 的像（對某個，因而對每個代表元 ${\displaystyle (U_{0},f_{U_{0}})}$）在 ${\displaystyle V}$ 中稠密時，對每個 ${\displaystyle g}$ 的代表元 ${\displaystyle (V_{0},g_{V_{0}})}$，${\displaystyle f_{U_{0}}(U_{0})\cap V_{0}}$ 皆非空，此時可以定義 ${\displaystyle g\circ f:=[f_{U_{0}}^{-1}(V_{0}),g_{V_{0}}\circ f_{U_{0}}]}$。

同理，若 ${\displaystyle V}$ 與 ${\displaystyle W}$ 都是 ${\displaystyle S}$ 上的概形，也可以類似地定義 ${\displaystyle S}$-有理映射。

例子

設 ${\displaystyle k}$ 為整環，設 ${\displaystyle V:=\mathbb {A} _{k}^{n}}$、${\displaystyle W:=\mathbb {A} _{k}^{m}}$，則從 ${\displaystyle V}$ 到 ${\displaystyle W}$ 的任何有理映射 ${\displaystyle f}$ 有唯一的表法：

${\displaystyle f=\left({\dfrac {f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}},\ldots ,{\dfrac {f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right)}$

其中 ${\displaystyle f_{i},g_{i}}$ 是多項式。該有理映射可以在 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}\setminus \bigcup _{i}\{g_{i}=0\}}$ 上定義。

此外，對於不可約 ${\displaystyle k}$-概形 ${\displaystyle X}$，其上的有理函數一一對應到從 ${\displaystyle X}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ 的有理映射。

優勢映射與雙有理等價

之前考慮合成問題時，曾利用像的稠密性條件；滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成，定義從概形 ${\displaystyle V}$ 到 ${\displaystyle W}$ 的雙有理等價為一個優勢映射 ${\displaystyle f}$，使得存在另一個從 ${\displaystyle W}$ 到 ${\displaystyle V}$ 的優勢映射 ${\displaystyle g}$，使 ${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{W}}$、${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{V}}$。

以下考慮域 ${\displaystyle k}$ 上的不可約代數簇及其間的 ${\displaystyle k}$-有理映射。有理映射的地位在於：透過有理函數的「拉回」運算，代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射，而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。

雙有理等價的例子

雙有理等價的定義較同構寬，因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ 與 ${\displaystyle X:xy-wz=0\subset \mathbb {P} _{k}^{3}}$，兩者雙有理等價，而並不同構。原因如下：${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ 中的任兩條閉曲線都有交點，而在 ${\displaystyle X}$ 中，${\displaystyle w=x=0}$ 與 ${\displaystyle y=z=0}$ 不相交，因而 ${\displaystyle X}$ 與 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ 並不同構。

另一方面，${\displaystyle X}$ 的函數域可以在仿射開集 ${\displaystyle w\neq 0}$ 上計算，此開集的座標環是 ${\displaystyle k[x,y,z]/(xy-z)\simeq k[x,y]}$，其函數域是 ${\displaystyle k(x,y)}$；這也是 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ 的函數域，於是二者雙有理等價。若細審上述論證，事實上能寫出所求雙有理等價的式子。

參見

• 雙有理幾何

文獻

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法語）. 引文使用過時參數coauthors (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 （英語）.