雅可比多項式

在數學中，雅可比多項式 （英語：Jacobi polynomials，有時也被稱為超幾何多項式）是一類正交多項式。它的名稱來自十九世紀普魯士數學家卡爾·雅可比。

關於多變量的雅可比多項式，請見「黑科曼-歐普達姆多項式」。

定義

雅可比多項式是從超幾何函數中獲得的，這個多項式列實際上是有限的：

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}$

其中的${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$是階乘冪符號（這裡是指上升階乘冪），（Abramowitz & Stegun p561 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））因此實際上的表達式是：

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}$

當z等於1的時候，上式中的無窮級數只有第一項非零，這時得到：

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

這裡對於每一個整數${\displaystyle n\,}$

${\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}$

而 ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$是通常定義的伽馬函數，其中約定，當整數n為小於零的時候：

${\displaystyle {z \choose n}=0}$

這個多項式列滿足正交性條件：

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}$

其中${\displaystyle \alpha >-1}$而且${\displaystyle \beta >-1}$。

這個多項式列還滿足對稱性的關係：

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}$

因此在z等於-1的時候也可以直接算出多項式值：

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

對於實數 ${\displaystyle x}$，雅可比多項式也可以寫成另一種形式：

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}$

其中 ${\displaystyle s\geq 0\,}$ 並且 ${\displaystyle n-s\geq 0\,}$。

有一個特殊的情形，是當以下四個量： ${\displaystyle n}$、${\displaystyle n+\alpha }$、${\displaystyle n+\beta }$ 以及 ${\displaystyle n+\alpha +\beta }$ 都是非負的實數的時候，雅可比多項式可以寫成如下形式：

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$

其中${\displaystyle s\,}$的求和是對所有使得求和項為非負實數的整數${\displaystyle s\,}$求和。

在這種情形下，以上表達式使得維納d-矩陣${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;}$（${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$）可以寫成用雅可比多項式表達的形式^[1]：

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}$

導數

身為多項式的一種，雅可比多項式也是無限連續可微（可導）的函數。雅可比多項式的第k次導函數為：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

微分方程

雅可比多項式${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$是以下的二階齊次線性常微分方程的解：

${\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,}$

參見

• 比貝爾巴赫猜想
• 勒讓德多項式
• 切比雪夫多項式
• 蓋根鮑爾多項式
• 雅可比過程

注釋

1. L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

參考來源

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） .
• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-62321-6, ISBN 978-0-521-78988-2, MR1688958
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255