雅可比公式

在矩陣微積分中，雅可比公式（Jacobi's formula）把矩陣 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的行列式的導數表達為 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的伴隨矩陣與 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 本身導數的乘積的跡。^[1]

若 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 是從實數到 ${\displaystyle n\times n}$ 矩陣的可微映射，則

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\det \mathbf {A} \left(t\right)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} \left(\mathbf {A} \left(t\right)\right)\,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} \left(t\right)}{\mathrm {d} t}}\right)}$。

其中 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {X} \right)}$ 為矩陣 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ 的跡。

參考資料

1. Magnus & Neudecker (1999，第149–150頁) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFMagnusNeudecker1999 (幫助), Part Three, Section 8.3