升鏈條件

在數學中，升鏈條件（Ascending Chain Condition）和降鏈條件（Descending Chain Condition）是一些代數結構具有的性質，例如交換環中的理想。

定義

偏序集${\displaystyle P}$滿足升鏈條件，如果在${\displaystyle P}$中不存在嚴格升序列

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$

其中的${\displaystyle a_{i}}$都是${\displaystyle P}$中的元素。等價地，${\displaystyle P}$中任意不嚴格升序列

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$

最終都是穩定的，即存在一個正整數${\displaystyle n}$使得

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

類似地，${\displaystyle P}$滿足降鏈條件如果在${\displaystyle P}$中不存在嚴格降序列或者每個不嚴格降序列最終都是穩定的。

性質

• 利用選擇公理，偏序集${\displaystyle P}$滿足降鏈條件等價於${\displaystyle P}$滿足良基關係：${\displaystyle P}$的每個非空子集都有一個極小元。滿足良基關係的偏序集稱為良序集。
• 類似地，偏序集${\displaystyle P}$滿足升鏈條件等價於${\displaystyle P}$的每個非空子集都有一個極大元。

例子

正整數環${\displaystyle \mathbb {Z} }$中的理想滿足升鏈條件，其中理想是通過包含關係進行排序，於是${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一個諾特環。