阿特伍德機 (Atwood machine,又譯作阿特午德機 或阿特午機 ),是由英國牧師 、數學家 兼物理學家 的喬治·阿特伍德 在1784年發表的《關於物體的直線運動和轉動》一文中提出的[ 1] ,用於測量加速度 及驗證運動定律的機械。此機械現在經常出現於學校教學中,用來解釋經典物理學 的原理,驗證力學 中做恆定加速度運動的運動規律。
阿特伍德機,1905年。
一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量m 1 和m 2 ,及由無重量、無彈性的繩子連結並包覆理想且無重量的滑輪 。
[ 2]
當
m
1
=
m
2
{\displaystyle m_{1}=m_{2}}
,無論兩物體在何位置、機器處於力平衡 的狀態。當
m
2
>
m
1
{\displaystyle m_{2}>m_{1}}
時,兩物體皆以大小相等的加速度做運動。
Atwood machine
我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性,滑輪理想(無視半徑)且無重量,那麼我們只需要考慮張力 (T ),還有兩個物體的重量 (mg )。先找出個別影響兩物體的力,當
m
2
>
m
1
{\displaystyle m_{2}>m_{1}}
時,
m1 的力:
T
−
m
1
g
{\displaystyle \;T-m_{1}g}
m2 的力:
m
2
g
−
T
{\displaystyle \;m_{2}g-T}
利用牛頓第二運動定律 ,
T
−
m
1
g
=
m
1
a
{\displaystyle \;T-m_{1}g=m_{1}a}
,
m
2
g
−
T
=
m
2
a
{\displaystyle \;m_{2}g-T=m_{2}a}
。
將這兩個方程式相加, 我們可以得到整個系統的恆定的加速度的方程式。定義合力
∑
F
{\displaystyle \sum F}
, 我們有
∑
F
=
(
m
2
g
−
T
)
+
(
T
−
m
1
g
)
=
g
(
m
2
−
m
1
)
{\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})}
。
∑
F
=
m
a
{\displaystyle \sum F=ma}
a
=
∑
F
m
{\displaystyle a={\sum F \over m}}
∑
F
=
g
(
m
2
−
m
1
)
{\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})}
m
=
(
m
1
+
m
2
)
{\displaystyle \;m=(m_{1}+m_{2})}
a
=
g
m
2
−
m
1
m
1
+
m
2
{\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}
阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學 中獲得的運動方程式。
[ 3]
上述的方程式也可用來計算繩子上的張力 ,只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。
a
=
g
m
2
−
m
1
m
1
+
m
2
{\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}
例如代入
m
1
a
=
T
−
m
1
g
{\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g}
,我們得到
T
=
g
2
m
1
m
2
m
1
+
m
2
{\displaystyle T=g{2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}
藉由同樣的方法,張力也可以從
m
2
a
=
m
2
g
−
T
{\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T}
中求得。
若m 1 與m 2 之間的重量差別很小時,半徑為(r )的滑輪的轉動慣量 (I )不可以被忽略。當不打滑時,滑輪的角加速度 可以從以下算式求得:
α
=
a
r
{\displaystyle \alpha ={a \over r}}
在此情況下,作用於滑輪上的總力矩 為:
τ
T
o
t
a
l
=
(
T
2
−
T
1
)
r
−
τ
f
r
i
c
t
i
o
n
=
I
α
{\displaystyle \tau _{Total}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }
把該方程式與兩個垂吊物體的方程式
T
1
−
m
1
g
=
m
1
a
{\displaystyle \;T_{1}-m_{1}g=m_{1}a}
,
m
2
g
−
T
2
=
m
2
a
{\displaystyle \;m_{2}g-T_{2}=m_{2}a}
聯合求解
T
1
{\displaystyle \;T_{1}}
,
T
2
{\displaystyle \;T_{2}}
和
a
{\displaystyle \;a}
,我們得到:
a
=
g
(
m
2
−
m
1
)
−
τ
f
r
i
c
t
i
o
n
r
m
1
+
m
2
+
I
r
2
{\displaystyle a={g(m_{2}-m_{1})-{\tau _{friction} \over {r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
T
1
=
m
1
g
(
2
m
2
+
I
r
2
+
τ
f
r
i
c
t
i
o
n
r
g
)
m
1
+
m
2
+
I
r
2
{\displaystyle T_{1}={m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
T
2
=
m
2
g
(
2
m
1
+
I
r
2
+
τ
f
r
i
c
t
i
o
n
r
g
)
m
1
+
m
2
+
I
r
2
{\displaystyle T_{2}={m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
Goldstein, Herbert . Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. 1980. ISBN 81-85015-53-8 .
Section 1-6, example 2, pages 26-27.