重言1形式

在數學中，重言 1-形式（Tautological one-form）是流形 Q 的餘切叢 ${\displaystyle T^{*}Q}$ 上一個特殊的 1-形式。這個形式的外導數定義了一個辛形式給出了 ${\displaystyle T^{*}Q}$ 的辛流形結構。重言 1-形式在哈密頓力學與拉格朗日力學的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有時也稱為劉維爾 1-形式，典範 1-形式，或者辛勢能。一個類似的對象是切叢上的典範向量場。

在典範坐標中，重言 1-形式由下式給出：

${\displaystyle \theta =\sum _{i}p_{i}dq^{i}\ .}$

在差一個全微分（恰當形式）的意義下，相空間中的任何「保持」典範 1-形式結構的坐標系，可以稱之為典範坐標；不同典範坐標之間的變換稱為典範變換。

典範辛形式由

${\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}\ ,}$

給出。

無坐標定義

重言 1-形式可以相當抽象地定義為相空間上一個 1-形式。設 ${\displaystyle Q}$ 是一個流形，${\displaystyle M=T^{*}Q}$ 是其餘切空間或者說相空間。設

${\displaystyle \pi :M\to Q\ ,}$

是典範纖維叢投影，令

${\displaystyle T_{\pi }:TM\to TQ\ ,}$

是 ${\displaystyle \pi }$ 誘導的前推。設 m 是 M 上一點，然而因為 M 是餘切叢，我們可將 m 理解為切空間上一個函數，在 ${\displaystyle q=\pi (m)}$ 點為：

${\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} \ .}$

這樣，我們便有 m 是在 q 點的纖維中。重言 1-形式 ${\displaystyle \theta _{m}}$ 在點 m 定義為

${\displaystyle \theta _{m}=m\circ T_{\pi }\ .}$

這是一個線性函數

${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} \ ,}$

所以

${\displaystyle \theta :TM\to \mathbb {R} \ ,}$

是流形 ${\displaystyle M=T^{*}Q}$ 上一個 1-形式。不難驗證這種定義和上一節局部坐標的定義是相同的。

性質

重言 1-形式是惟一「消去」拉回的 1-形式。這便是說：若

${\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q}$

是 Q 上任意一個 1-形式，而 ${\displaystyle \beta ^{*}}$ 是其拉回。那麼

${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta \ ,}$

以及

${\displaystyle \beta ^{*}\omega =-d\beta \ .}$

這些都可以用上一節的定義直接得到，如果寫成局部坐標的形式就最好理解：

${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ^{*}\sum _{i}p_{i}dq^{i}=\sum _{i}\beta ^{*}p_{i}dq^{i}=\sum _{i}\beta _{i}dq^{i}=\beta \ .}$

作用量

如果 H 是餘切叢上一個哈密頓向量場，而 ${\displaystyle X_{H}}$ 是其哈密頓流，那麼相應的作用量 S 為

${\displaystyle S=\theta (X_{H})\ .}$

用普通的方式表述，哈密頓流代表了一個力學系統在哈密頓-雅可比方程限制下的軌道。哈密頓流是哈密頓向量場的積分曲線，所以我們用作用量-角度坐標傳統記法：

${\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}\ ,}$

這裡積分理解為在流形上的維持能量 ${\displaystyle E}$ 為常數 ${\displaystyle H=E={\text{const}}}$ 的子集上進行。

在度量空間上

如果流形 Q 有一個黎曼或者偽黎曼度量 g，那麼相應的定義可以用廣義坐標寫出。特別地，如果我們取度量為映射

${\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q\ ,}$

這樣便定義了

${\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }$

和

${\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }$

在 TQ 上的廣義坐標中 ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ，我們有

${\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}$

以及

${\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}\ .}$

度量使我們可定義 ${\displaystyle T^{*}Q}$ 上的一個單位半徑球面（叢）。典範 1-形式限制到這些球面上組成了一個切觸結構；這個切觸結構可以用來生成關於這個度量的測地流。

又見

• 基本類

參考文獻

• Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.
• 賀龍廣，辛幾何與泊松幾何引論，首都師範大學出版社，2001年，ISBN 7-81064-249-9