中國郵遞員問題

中國郵遞員問題（也稱路線檢查問題，Route Inspection Problem）是一個圖論問題。此問題為在一個連通的無向圖中找到一最短的封閉路徑，且此路徑需通過所有邊至少一次。現實意義中，中國郵遞員問題就是在一個已知的地區，郵差要設法找到一條最短路徑，走過此地區所有的街道，且最後要回到出發點。

此問題是圖遍歷問題的一種。無向圖的中國郵遞員問題是容易解決的，是P問題；而有向圖的中國郵遞員問題是NP完全問題。中國郵遞員問題由管梅谷教授在1960年提出，而美國國家標準和技術研究院（NIST）的 Alan Goldman 首先將此問題命名為中國郵遞員問題。^[1]

無向圖上中國郵遞員問題的解法

若圖中有歐拉迴路，因為歐拉迴路通過所有的邊，因此任何一個歐拉迴路即為此問題的解。

若圖中不存在歐拉迴路，其中必存在有奇數個邊的端點，且這類的端點一定大於等於2個。因此有些邊需要再重覆一次，使奇數邊的端點變為偶數邊的端點。

用圖來模擬一個鎮的街道，標示紅色的路口有奇數條路通過。

假設有一個鎮有14條路及9個路口（路口分別編號為 1,2, …,9），其路和路口對應的圖（右邊第 1 圖，邊上的數字是各邊的 cost）中有4個端點（編號 1, 3, 6 及9）有奇數個邊通過，因此這個圖不存在歐拉迴路。後續要作的在圖中使幾個邊重覆，使圖中所有的端點均有偶數邊通過。例如若圖中 {1,3} 及 {6.9} 邊重覆，所有的端點均有偶數邊通過。不過增加的長度不一定最少。

所有奇數邊端點組成的${\displaystyle K_{4}}$完全圖。

為了要確定重覆哪個邊可以使原圖的端點都有偶數邊通過，且增加長度最少。先畫出所有奇數邊的端點的完全圖 ${\displaystyle K_{4}}$ （右邊第 2 圖），邊上的數字是從一端點到另一端點（可以經過其他完全圖 ${\displaystyle K_{4}}$ 中省略的點）的最短長度。若選擇邊 {1,6} 及 {3,9}，所有端點都經過一次，而總長度 ${\displaystyle 4+2=6}$最短。

最後的解，紅色部份是新增的邊及其對應的長度。

因此原來的圖中，連接端點 1 和 6, 端點 3 和 9 的邊再重覆一次，所有端點均有偶數個邊通過（右邊第 3 圖）。因此任一個歐拉路徑即為此問題的解答，如以下的端點順序 (1,2,3,4,9,3,1,8,7,3,9,7,6,9,5,6,7,8,1) 即為一解。圖中紅色的部份即為重複的邊。

參考文獻

1. "Chinese Postman Problem". [2009-02-19]. （原始內容存檔於2008-10-17）.

參見

• 一筆畫問題
• 漢彌爾頓路徑問題
• 旅行推銷員問題

外部連結

• Chinese Postman Problem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）