邏輯等價

在邏輯中，陳述p和q是邏輯等價的，如果它們有相同的邏輯內容。

p和q是語法等價的，如果每個都可以證明自另一個。p和q是語義等價的，如果它們在所有模型中有相同的真值。

邏輯等價經常混淆於實質等價。前者是在元語言中的一個陳述，斷言關於目標語言中的陳述p和q的某個事情。而p和q的實質等價（常寫為"p ↔ q"）自身是在目標語言中另一個陳述。但它們是有聯繫的，p和q是語法等價的，當且僅當p ↔ q是一個定理，而p和q是語義等價的，當且僅當p ↔ q是重言式。

邏輯等價有時表示為p ≡ q或p ⇔ q。但是，後者記號也用於實質等價。

邏輯等價公式

等價關係	關係名稱
p∧T≡p p∨F≡p	Identity laws 恆等律
p∨T≡T p∧F≡F	Domination laws 支配律
p∨p≡p p∧p≡p	Idempotent laws 冪等律
﹁(﹁p)≡p	Double negation laws 雙非律
p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p	Commutative laws 交換律
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r)	Associative laws 結合律
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)	Distributive laws 分配律
﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q	De Morgan's laws 德摩根律
p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p	Absorption laws 吸收律
p∨﹁p≡T p∧﹁p≡F	Negation laws 否定律

包括蘊涵的邏輯等價：

1. p→q≡﹁p∨q
   
2. p→q≡﹁q→﹁p
   
3. p∨q≡﹁p→q
   
4. p∧q≡﹁(p→﹁q)
   
5. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
   
6. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
   
7. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
   
8. (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
   
9. (p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r
   

包含雙蘊涵（邏輯雙條件）的邏輯等價：

1. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
   
2. p↔q≡﹁p↔﹁q
   
3. p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
   
4. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q
   

例子

John高於Fred≡≡（等價於）≡≡Fred矮於John。

參見

• 邏輯雙條件
• 蘊涵
• 等價符號