辛欽常數

在數論領域中，蘇聯數學家亞歷山大·雅科夫列維奇·辛欽（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）證明對於幾乎所有實數x，其連分數表示式的係數a_i的幾何平均數之極限存在，且與x數值無關，此數值稱為辛欽常數（英語：Khinchin's constant）。

以下是x的連分數表示式

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$

針對任意實數x，以下的等式幾乎總是為真

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=K_{0}}$

其中 ${\displaystyle K_{0}}$為辛欽常數

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}\approx 2.6854520010\dots }$ （OEIS數列A002210）.

不符合上述條件的實數包括了有理數、實係數二次方程的解（包括黃金比例 ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$），以及自然對數的底e。目前辛欽常數是否為無理數或代數數仍猶未可知。雖然幾乎所有實數之連分數係數的幾何平均都趨近於辛欽常數，但除了特意建構的實數外，並沒有實數被嚴格證明有此性質，僅有一些數值上的證據，像是圓周率及歐拉-馬歇羅尼常數。

開放問題

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(\pi _{1}\pi _{2}...\pi _{n})^{1/n}}$似乎會趨近辛欽常數

• 根據數值上的證據^[1][2]，圓周率π、歐拉-馬斯刻若尼常數γ、以及辛欽常數本身的連分數係數a_i的幾何平均數會趨近辛欽常數，不過這還沒有嚴謹的證明。
• 目前還不知道辛欽常數是有理數、代數數、無理數或超越數^[3]。

相關條目

• 李維常數
• 洛克斯定理（英語：Lochs's theorem）

參考資料

• David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall. On the Khinchine constant (PDF). 1995. （原始內容 (PDF)存檔於2005-05-28）.
• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall. Computational Strategies for the Riemann Zeta Function (PDF). J. Comp. App. Math. 2000, 121: p.11 [2012-11-08]. （原始內容 (PDF)存檔於2006-09-25）. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Aleksandr Ya. Khinchin. Continued Fractions. New York: Dover Publications. 1997.
• Ryll-Nardzewski, Czesław, On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions), Studia Mathematica, 1951, 12: 74–79

外部連結

• 110,000 digits of Khinchin's constant
• 10,000 digits of Khinchin's constant

1. Weisstein, Eric W. Euler-Mascheroni Constant Continued Fraction. mathworld.wolfram.com. [2020-03-23]. （原始內容存檔於2024-01-13） （英語）.
2. Weisstein, Eric W. Pi Continued Fraction. mathworld.wolfram.com. [2020-03-23]. （原始內容存檔於2023-11-06） （英語）.
3. 埃里克·韋斯坦因. Khinchin's constant. MathWorld.