費馬平方和定理是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在1640年提出的一個猜想,但他沒有提出有力的數學證明,1747年,瑞士數學家萊昂哈德·歐拉提出證明後成為定理。
歐拉在1747年證明了費馬平方和定理,當年他四十歲。他在當年5月6日寄給哥德巴赫一封信,講述這個定理的證明。該證明分五步,且用到了無窮遞降法;由於信中沒有把第五步講清楚,因此1749年他再次寄給哥德巴赫一封信,詳細講述第五步的證明。
第一步、「如果兩個整數都能表示為兩個平方數之和,則它們的積也能表示為兩個平方數之和。」
- 即婆羅摩笈多-斐波那契恆等式 。
第二步、「如果一個能表示為兩個平方數之和的整數被另一個能表示為兩個平方數之和的素數整除,則它們的商也能表示為兩個平方數之和。」
- 假設能被整除,且後者為素數。則能整除
- 由於是素數,因此它能整除兩個因子之一。假設它能整除。由於
- 可推出能整除。於是等式能被的平方整除。兩邊除以得:
- 因此其商能表示為兩個平方數之和。
- 如果能整除,則利用等式
- 同樣可證。
第三步、「如果一個能表示為兩個平方數之和的整數被另一個不能表示為兩個平方數之和的整數整除,則它們的商也必有一個不能表示為兩個平方數之和的因子。」
- 假設能整除,且其商的分解式為。則。如果所有的因子都能表示為兩個平方數之和,則我們可以用、、等等去除,並使用第二步的結論,可得每一個商都能表示為兩個平方數之和。除到只剩的時候,可得也能表示為兩個平方數之和,矛盾。因此,如果不能表示為兩個平方數之和,則至少有一個素數 也不能表示為兩個平方數之和。
第四步、「如果和互素,則的所有因子都能表示為兩個平方數之和。」
- 這一步用到了無窮遞降法。設是的一個因子。可記
- 其中和的絕對值最多不超過的一半。可得:
- 因此,一定能被整除,設。如果和不互素,則它們的最大公約數與互質(否則它與的最大公約數就能整除和,與我們假設它們互素矛盾)。因此它們的最大公約數的平方能整除(因為它能整除),於是我們得到,其中和互素,且不超過的一半,這是因為
- 如果和互素,則我們可直接使用和,不必轉換成和。
- 如果不能表示為兩個平方數之和,則根據第三步的結論,可知必有一個的因子不能表示為兩個平方數之和;設它為。於是我們從推出了一個更小的整數,都不能表示為兩個平方數之和,但都能被一個能表示為兩個平方數之和的整數整除。由於這個無窮遞降是不可能的,因此一定能表示為兩個平方數之和。
第五步、「任何形為的素數都能表示為兩個平方數之和。」
- 如果,則根據費馬小定理可得被除都餘1。因此它們的差都能被整除。這些差可分解為
- 由於是素數,它一定能整除這兩個因子之一〔以下稱它們為「和因子」和「差因子」〕。如果它能整除任何一個「和因子」,則根據第四步的結論可得能表示為兩個平方數之和〔由於和僅相差,它們必然互素〕。而如果它能整除所有的個「差因子」,則它也能整除個一階差、個二階差,依此類推。由於數列的第階差都等於,於是第階差都等於,顯然它不能被整除。因此,不能整除所有的「差因子」,得證能表示為兩個平方數之和。
唐·扎吉爾的證明基於羅傑·希斯-布朗早期證明的簡化。令素數滿足以及為自然數集,考慮三元數組有限集,於是存在兩種對合映射的方式:一種是,其中不動點即為的兩平方和的表示形式;另一種則是較為複雜的形式:
必然有且只有一個不動點,因此集合的元素個數必為奇數,於是不動點必然存在。