數理統計學中，費希爾信息（英語：Fisher Information；有時稱作 information[1]），或稱費雪訊息數，通常記作 I X ( θ ) {\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}(\theta )} ，是衡量觀測所得的隨機變量 X {\displaystyle X} 攜帶的關於未知母數 θ {\displaystyle \theta } 的訊息量，其中 X {\displaystyle X} 的概率分布依賴於母數 θ {\displaystyle \theta } 。費希爾信息由統計學家羅納德·費希爾在弗朗西斯·伊西德羅·埃奇沃思工作的基礎上提出，現常用於最大似然估計和貝葉斯統計學中。 本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目需要擴充。 (2016年7月24日) 此條目沒有列出任何參考或來源。 (2016年7月24日) 定義 隨機變量 X {\displaystyle X} 的費希爾訊息定義為 I ( θ ) = E [ ( ∂ L ∂ θ ) 2 | θ ] = − E [ ∂ 2 L ∂ θ 2 | θ ] {\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\right)^{2}\right|\theta \right]=-\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial \theta ^{2}}}\right|\theta \right]} 其中 L ( X ; θ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X;\theta )} 是 X {\displaystyle X} 關於母數 θ {\displaystyle \theta } 的對數似然函數，當 X {\displaystyle X} 的概率密度函數 f ( X ; θ ) {\displaystyle f(X;\theta )} 已知時 L ( X ; θ ) = ln f ( X ; θ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X;\theta )=\ln f(X;\theta )} 註釋 [1]Lehmann & Casella, p. 115 Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
的費希爾訊息定義為
![{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\right)^{2}\right|\theta \right]=-\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial \theta ^{2}}}\right|\theta \right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfe7645b208bfed7c98e67c71b2d3965ad9e2dc)
是關於母數
的對數似然函數，當的概率密度函數
已知時
![{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\right)^{2}\right|\theta \right]=-\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial \theta ^{2}}}\right|\theta \right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfe7645b208bfed7c98e67c71b2d3965ad9e2dc)
