謝爾賓斯基三角形

謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種碎形，由波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基在1915年提出。它是自相似集的例子。

三維版本

謝爾賓斯基三角形，它的豪斯多夫維是log(3)/log(2) ≈ 1.585。

它的豪斯多夫維是${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585}$。

構作

去掉中心

1. 取一個實心的三角形。（多數使用等邊三角形）
2. 沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形。
3. 去掉中間的那一個小三角形。
4. 對其餘三個小三角形重複1。

取一個正方形或其他形狀開始，用類似的方法構作，形狀也會和謝爾賓斯基三角形相近：

Chaos Game

用隨機的方法（Chaos Game（英語：Chaos_game）），都可得到謝爾賓斯基三角形：

1. 任意取平面上三點A,B,C，組成一三角形
2. 任意取三角形ABC內的一點
3. 畫出 P和三角形其中一個頂點的中點，並將P移動到這個點
4. 重複3

L系統

下圖展示了曲線如何逼近謝爾賓斯基三角形。

這條曲線以L系統來記述為：

變數: A , B

常數: + , -

公理: A

規則:

A → B-A-B

B → A+B+A

• A,B ： 向前
• - ： 左轉60°
• + ： 右轉60°

外部連結

• 以去掉中心三角形的構作法(cut-the-knot)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 以Chaos Game的原理繪謝爾賓斯基三角形：
  • 一次多點（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  • 逐步畫出（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 遊戲（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Sierpinski Gasket and Tower of Hanoi：與河內塔的關係