平分線

角平分線（英語：Angle Bisector）是幾何學中的一個基本概念。它指的是從角的頂點出發，將角分成兩個相等角的線段或射線。角平分線在幾何問題中起着重要作用，無論是在理論證明中，還是在實際應用中，都能幫助我們理解和解決各種幾何問題。

角平分線的定義

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。

角平分線的性質

1.角平分線把角分成兩個一樣角度的小角，都等於該角的一半

該性質的應用

${\displaystyle \because \ OM{\text{ 平分 }}\angle AOB}$

${\displaystyle \therefore \ \angle AOM=\angle MOB}$

2..角平分線上的任意一點，到角兩邊的距離相等。

即如圖所示：

${\displaystyle OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB,P}$為${\displaystyle OM}$上一點${\displaystyle ,PE{\perp }OA}$於${\displaystyle E,PF{\perp }OB}$於${\displaystyle F,}$

則${\displaystyle PE=PF}$。

該性質的證明

利用三角形全等，可以很容易推得此結論。

下面作一下簡單推導。

${\displaystyle {\because \quad }OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF.}$

${\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}$

在${\displaystyle {\triangle }OEP}$與${\displaystyle {\triangle }OFP}$中${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\angle }OEP={\angle }OFP,\\{\angle }POE={\angle }POF,\\OP=OP,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\therefore \quad \triangle }OEP{\;\cong \triangle }OFP({\mbox{AAS}}).}$

${\displaystyle {\therefore \quad }PE=PF.}$

證畢。

角平分線的判定

判定

與其性質相對應的，就是角平分線的判定：

若有一點至角兩邊距離相等，則該點在該角的角平分線上。

即：

已知${\displaystyle {\angle }AOB,P}$為${\displaystyle OM}$上一點${\displaystyle ,\;PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB.}$

如果${\displaystyle PE=PF,}$那麼${\displaystyle OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB.}$

證明

${\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}$

在${\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OEP}$與${\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OFP}$中${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}OP=OP,\\PE=PF,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\therefore \quad }\mathrm {Rt} {\triangle }OEP\;{\cong }\mathrm {Rt} {\triangle }OFP(\mathrm {HL} ).}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF,}$

${\displaystyle {\therefore \quad }OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB.}$

證畢。

內心

任意三角形ABC中，${\displaystyle {\angle }ABC}$、${\displaystyle {\angle }BCA}$、${\displaystyle {\angle }CAB}$ 角平分線交於一點I，則我們稱此點I為三角形ABC的內心。

三角形的內心恆在圖形內部，且到三角形之三邊距離等長。

參見

• 角平分線長公式
• 垂直平分線
• 中線
• 高線