表面張力波

表面張力波（英語：Capillary wave）是延著液體相邊界（英語：phase boundary）行進的波，其動力學及相速度是由表面張力的效應所決定，在水面上的表面張力波常稱為漣漪。

水面漣漪

挪威厄克斯內斯Lifjord 的漣漪

水滴產生的漣漪

表面張力波是自然界常見的現象，其波長多半在數公分以內，而相速度約0.2-0.3公尺/秒。

若液體表面的波是受到表面張力、重力及液體慣性的影響，其波長會比較長，稱為重力-表面張力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波長會更長。

漣漪可能是在開放水體中由微風所產生，在開放海域中，由風產生的小漣漪可能會造成大的波濤。

色散關係

色散關係說明在波當中波長和頻率之間的關係。色散關係會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中，也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。

一般的表面張力波

在表面張力波中的色散關係是

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},}$

其中ω是角頻率，σ是表面張力，ρ是較重流體的密度，ρ'是較輕流體的密度，k是波數。其波長為 ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$ 若在流體和真空中的邊界，其色散關係簡化為是

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.}$

重力-表面張力波

在深水表面的重力-表面張力波（上方的密度為0，ρ′ = 0）。相速度及群速度除以${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}}$後，會是相對波長倒數的函數
 · 藍線(A)：相速度，紅線(B)：群速度
 · 實線：重力-表面張力波色散關係。
 · 點線：深水重力波的色散關係
 · 虛點線：實際深水重力波的色散關係

一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下^[1][2]：

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

其中g為標準重力，ρ和ρ'分別是二種流體的密度（ρ > ρ『）。第一項的${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$因子是阿特伍德數。

重力波的範圍

若波長較大（波數k = 2π/λ較小），主要會受第一項，重力波的影響。

若到極限時，波的群速度會是相速度的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在後面出現，成長，最後會在波群的前面消失。

表面張力波範圍

若波長較小（波數較大，例如在水-空氣介面中，波數到達2 mm)，是表面張力波，情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在前面出現，成長，最後會在波群的後面消失。在極限時，群速度會是相速度的1.5倍。

相速度的最小值

在上述兩種極端條件之間，存在一個點，表面張力波產生的色散會和重力產生的色散相抵消。在該波長下，群速會等於相速，沒有色散。在該波長下，重力-表面張力波的相速有極小值。若波長遠大於臨界波長λ_m的波主要會受到表面張力影響，波長遠大於該值的波主要會受到重力影響。波長和最小相速度c_m的關係如下^[1]：

${\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}$

針對空氣–水的界面，λ_m約為1.7 cm（0.67英寸），c_m為0.23 m/s（0.75 ft/s）.^[1]。

若小石頭或是水滴落入液面，漣漪會以同心圓往外擴散，最後水面會靜止。漣漪的同心圓會出現焦散（英語：caustic (optics)），對應最小相速^[3]

原理

理查德·費曼曾提過：「[水波]是每一個人都可以看到的現象，也在基礎教育中用來做為波的例子[......]，但也是最壞的例子，[......]波可能會出現的複雜問題，在水波中都可可能出現。」^[4]。在重力-表面張力波的色散關係中，也會有類似的情形^[5]。

一般會假設重力-表面張力波的能量來源有三個：重力、表面張力及流體動力學。前兩個是勢能。在有關重力的部份，一般分析會假設流體的密度是定值（不可壓縮性），也會假設重力是定值（水波的高低還不足以造成重力顯著變化的程度）。有關表面張力，會假設表面的高度變化很小，針對一般水波，上述二個假設都可以成立。

能量來源的第三個是流體的動能，這部份最複雜，需要用流體動力學的技巧。此處會再假設不可壓縮性（若波的速度遠小於介質中聲速時成立），流場本身是保守向量場，因此流位流。

相關條目

• 毛細現象
• 水波色散（英語：Dispersion (water waves)）
• 流體管（英語：Fluid pipe）
• 波濤
• 兩相流（英語：Two-phase flow）
• Airy波理論（英語：Airy wave theory）

腳註

1. Lamb (1994), §267, page 458–460.
2. Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45.
   Phillips (1977), Section 3.2, p. 37.
3. Falkovich, G. Fluid Mechanics, a short course for physicists. Cambridge University Press. 2011. Section 3.1 and Exercise 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
4. 理查德·費曼, R.B. Leighton, and M. Sands (1963). '費曼物理學講義. Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4.
5. 在Safran (1994)中有更細節的敘述 for a more detailed description.

參考資料

• Longuet-Higgins,M. S. The generation of capillary waves by steep gravity waves. Journal of Fluid Mechanics. 1963, 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM....16..138L. ISSN 1469-7645. doi:10.1017/S0022112063000641.
• Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-45868-9.
• Phillips, O. M. The dynamics of the upper ocean 2nd. Cambridge University Press. 1977. ISBN 0-521-29801-6.
• Dingemans, M. W. Water wave propagation over uneven bottoms. Advanced Series on Ocean Engineering 13. World Scientific, Singapore. 1997: 2 Parts, 967 pages. ISBN 981-02-0427-2.
• Safran, Samuel. Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes. Addison-Wesley. 1994.
• Tufillaro, N. B.; Ramshankar, R.; Gollub, J. P. Order-disorder transition in capillary ripples. Physical Review Letters. 1989, 62 (4): 422–425 [2019-11-26]. Bibcode:1989PhRvL..62..422T. PMID 10040229. doi:10.1103/PhysRevLett.62.422. （原始內容存檔於2017-09-22）.

外部連結

• Capillary waves entry at sklogwiki （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）