補數

補數（complement）是對於給定的進位制，相加後能使自然數 a 的位數增加 1 的最小的數。可以在計算電路中，代替減${\displaystyle x}$的操作，而僅僅使用加法器元件（加法器）的「加上${\displaystyle x}$的補數（無視最高位的進位）」，達到相同的效果。

此條目介紹的是補數的一般概念。關於電腦科學常用的補數，請見「二補數」。

定義

設b 進制表示自然數 a 至少需要 n 位數字，規定

• ${\displaystyle b^{n}-a}$ 是      「b 進制數 a 的關於基數的補數（b 的補數）」
• ${\displaystyle b^{n}-a-1}$ 是「b 進制數 a 的關於減基數的補數（b - 1 的補數，簡稱減補數、儕補數）」。

例如，十進制自然數 61 關於基數 10 的補數是 ${\displaystyle 10^{2}-61=39}$。二進制自然數 ${\displaystyle 10010_{2}(=18_{10})}$ 關於基數 2 的補數是 ${\displaystyle 2^{5}-18=1110_{2}(=14_{10})}$。

由定義可以得出，a 的基數的補數 加上 a，可以得到位數多一位的最小的自然數（${\displaystyle =b^{n}}$）。a 的減基數的補數 加上 a ，可以得到位數不增加的最大的自然數（${\displaystyle =b^{n}-1}$）。

基數 b 在上下文中明確的時候，「在b 進制中」的描述通常被省略。

但是，在基數不明確的情況下，「${\displaystyle \beta }$ 的補數」表示的可以是${\displaystyle (\beta +1)}$ 進制的減基數的補數，也可是 ${\displaystyle \beta }$ 進制的基數的補數，從而產生歧義（這兩者的值不一定是相等的）。例如，僅僅說「9的補數」，無法確定指的是「10進制中的減基數的補數」還是「9進制中的基數的補數」。

在英文中，十進制的基數的補數記為 ten's complement，減基數的補數稱為 nines' complement。二進制中，基數的補數稱為 two's complement，減基數的補數稱為 ones' complement。其他進制也有類似的稱法。一些人，如高德納，建議採用撇號區分。這樣，four's complement指的是四進制中的基數的補數。而fours' complement指的是五進制中的減基數的補數。但是，這並不是普遍的做法，而且在幾乎所有情況下進制是明確的。多數作者寫做 one's和nine's complement，一些格式手冊建議採用 ones和nines complement，不採用撇號。

計算方法

對於N進制的自然數a，從個位開始的各位數字

${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{r-1},a_{r}}$

規定${\displaystyle a_{r}}$不能為0。規定${\displaystyle b_{i}}$的各位為：

b_i = (N + 1) + a_i

這時，N進制形如的

${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{r-1},a_{r}}$

數 ${\displaystyle b}$ 即稱為「${\displaystyle a}$ 的關於 ${\displaystyle (N+1)}$ 的補數」。

10進制的舉例

求十進制數 2304671 的補數。由於 9 = 2 + 7 = 3 + 6 = 0 + 9 = 4 + 5 = 6 + 3 = 7 + 2 = 1 + 8 ，令N=9時，自然數2304671對應的補數為 7695328 。 7695328 + 1 = 7695329 ，因此N=10時，自然數2304671對應的補數是 7695329。

2進制的舉例

二進制中有 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1，求1的補數只需簡單地將0與1相互替換。（位操作中的邏輯非運算）。

求二補數（即補碼），只需要將1的補數加1。

• 二進制的 101010110 對應的1的補數是 010101001。
• 2 的補數是 010101001 + 1 = 010101010。

參考文獻

JIS X 0005:2002 情報処理用語（データの表現） 05.08

Donald E. Knuth 『The Art of Computer Programming Vol. 2 Seminumerical Algorithms Third Ed. 日本語版』 アスキー、2004年、191頁。 (ISBN 4-7561-4543-4)

相關條目

• 加法器
• 二補數
• 有符號數處理