艾里函數

艾里函數（Ai(x)），英國英格蘭天文學家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函數，他在1838年研究光學的時候遇到了這個函數。Ai(x)的記法是Harold Jeffreys引進的。Ai(x)與相關函數Bi(x)（也稱為艾里函數），是以下微分方程的解：

${\displaystyle y''-xy=0,\,\!}$

這個方程稱為艾里方程或斯托克斯方程。這是最簡單的二階線性微分方程，它有一個轉折點，在這一點函數由周期性的振動轉變為指數增長（或衰減）。

定義

Ai(x)（紅色）和Bi(x)（藍色）的圖像

對於實數x，艾里函數由以下的積分定義：

${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}$

雖然這個函數不是絕對可積的（當t趨於+∞時積分表達式不趨於零），這個廣義積分還是收斂的，因為它快速振動的正數和負數部分傾向於互相抵消（這可以用分部積分法來檢驗）。

把:${\displaystyle y=Ai(x)}$求導，我們可以發現它滿足以下的微分方程：

${\displaystyle y''-xy=0.\,\!}$

這個方程有兩個線性獨立的解。除了:${\displaystyle Ai(x)}$以外，另外一個解稱為第二艾里函數，記為${\displaystyle Bi(x)}$。它定義為當x趨於−∞時，振幅與${\displaystyle Ai(x)}$相等，但相位與${\displaystyle Ai(x)}$相差${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ 的函數：

${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\ e^{\left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)}+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}$

性質

${\displaystyle x=0}$時，${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$和 ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$以及它們的導數的值為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}$

在這裡，${\displaystyle {\Gamma }}$表示伽瑪函數。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}$ 。

當x是正數時，Ai(x)是正的凸函數，指數衰減為零，Bi(x)也是正的凸函數，但呈指數增長。當x是負數時，Ai(x)和Bi(x)在零附近振動，其頻率逐漸上升，振幅逐漸下降。這可以由以下艾里函數的漸近公式推出。

漸近公式

當x趨於+∞時，艾里函數的漸近表現為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}$

而對於負數方向的極限，則有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}$

這些極限的漸近展開式也是可以得到的^[1]。

自變量是複數時的情形

我們可以把艾里函數的定義擴展到整個複平面：

${\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}$

其中積分路徑${\displaystyle C}$從輻角為-(1/3)π的無窮遠處的點開始，在輻角為(1/3)π的無窮遠處的點結束。此外，我們也可以用微分方程${\displaystyle y''-xy=0}$來把Ai(x)和Bi(x)延拓為複平面上的整函數。

以上Ai(x)的漸近公式在複平面上也是正確的，如果取主值為x^2/3，且x不在負的實數軸上。Bi(x)的公式也是正確的，只要x位於扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}內，對於某個正數δ。最後，Ai(−x)和Bi(−x)是正確的，如果x位於扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}內。

從艾里函數的漸近表現可以推出，Ai(x)和Bi(x)在負的實數軸上都有無窮多個零點。Ai(x)在複平面內沒有其它零點，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}內還有無窮多個零點。

圖像

${\displaystyle \Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\mathrm {Ai} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,}$

${\displaystyle \Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\mathrm {Bi} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,}$

與其它特殊函數的關係

當自變量是正數時，艾里函數與變形貝塞爾函數之間有以下的關係：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}$

在這裡，I_±1/3和K_1/3是方程${\displaystyle x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0}$的解。

當自變量是負數時，艾里函數與貝塞爾函數之間有以下的關係：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}$

在這裡，J_±1/3是方程${\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0}$的解。

Scorer函數是${\displaystyle y''-xy=1/\pi }$的解，它也可以用艾里函數來表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}$

或是利用超幾何函數，

${\displaystyle \operatorname {Gi} (z)\equiv {\frac {1}{3}}\operatorname {Bi} (z)-{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}$

${\displaystyle \operatorname {Hi} (z)\equiv {\frac {2}{3}}\operatorname {Bi} (z)+{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}$

參考文獻

1. 參看Abramowitz and Stegun, 1954 和 Olver, 1974。

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. National Bureau of Standards.
• Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
• Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
• Harold Richard Suiter. Star Testing Astronomical Telescopes: A Manual for Optical Evaluation and Adjustment. Richmond, VA: Willmann-Bell. 1994. ISBN 978-0-943396-44-6.（含有許多圖像 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Airy Functions. MathWorld.