能量串級

在連續介質力學中，能量串級包括能量從大尺度運動到小尺度運動的傳輸（稱為正向能量串級）或能量從小尺度到大尺度的傳輸（稱為逆向能量串級）。這種不同尺度之間的能量轉移只能發生在非線性系統中。嚴格來說，串級的能量傳輸發生在局部（僅在非常接近的尺度之間），類似於水從一個水池流動到下一個臨近水池產生的層疊瀑布，而不會出現跨越整個尺度範圍的遠程傳輸。

可視化的湍流射流，使用激光誘導熒光（英語：Planar laser-induced fluorescence）技術製成。射流涉及多個長度尺度，這是在湍流模型中出現能量串級的先決條件。

在對完全成形的湍流的研究中，能量串級是一個重要概念。路易斯·弗萊·理查德森作於1920年代的這首詩描寫了這種現象，令人記憶深刻。能量串級對於理解波湍流（英語：wave turbulence）理論中的波濤現象也很重要。

Big whirls have little whirls
that feed on their velocity,
And little whirls have lesser whirls
and so on to viscosity

—路易斯·弗萊·理查德森, 1922^[1]

以氣流在高層建築周圍形成的湍流為例。邊界層分離所產生的渦流（英語：Eddy）蘊含能量，其大小在數十米左右。這一尺度範圍稱為含能區。在氣流下游的某處，空氣的黏度導致的耗散主要發生在柯爾莫哥洛夫微尺度上，在這個例子中也就是毫米大小。這一尺度範圍稱為耗散區。而在這兩個等級的尺度之間，沒有外力作用，黏度也不會導致明顯的耗散，卻存在非線性的，從大尺度到小尺度的淨能量傳輸。

如果含能區和耗散區之間存在很大距離，則它們之間的尺度範圍稱為慣性子區（英文：inertial subrange）。這些尺度上的運動可以通過自相似性來描述，或者通過對其統計學特徵做出假設（從而滿足湍封閉）來分析。安德雷·柯爾莫哥洛夫在1940年代開創性地推導出了對湍流慣性子區中波數譜的預測。

湍流慣性子區中的譜

在湍流能量譜中能量產生、串級、耗散的圖示。

在湍流中，最大尺度的渦流蘊含最多的動能。而黏度導致的能量的耗散主要發生在最小的渦流中。柯爾莫哥洛夫假設，當這兩種尺度之間距離很大時， 兩者之間的尺度範圍在統計學上具有各向同性，而它在達到平衡時的特徵只取決於能量在小尺度上耗散的速率。(耗散是機械能通過摩擦轉化為熱能的過程。）耗散速率 ${\displaystyle \varepsilon }$ 可以表示用湍流中波動的應變速率（英語：strain rate）和流體的運動粘度 ${\displaystyle \nu }$ 表示。它的量綱是能量/(單位質量·單位時間)。達到平衡狀態時，在大尺度運動中產生湍動能（英語：turbulence kinetic energy）的速率等於小尺度運動中耗散能量的速率。

湍流的能量譜

湍流的能量譜 ${\displaystyle E(k)}$ 取決於單位質量流體的湍動能（英語：turbulence kinetic energy）^[2]：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk.}$

其中 ${\displaystyle u_{i}}$ 是波動的速度的分量，上劃線表示系綜平均值，表達式在 ${\displaystyle i}$ 上求和， ${\displaystyle k}$ 是波數。所以能量譜 ${\displaystyle E(k)}$ 表示的是位於波數 ${\displaystyle k}$ 與 ${\displaystyle k+dk}$ 之間的湍動能。較大的渦流具有較低的波數，較小的渦流具有較高的波數。

因為擴散是速度的拉普拉斯，耗散速率可以用能量譜表示：

${\displaystyle \varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk.}$

其中 ${\displaystyle \nu }$ 是流體的運動粘度。在這條等式中可以觀察到，即使動能主要存在於低波數的運動（大渦流）中，耗散主要發生在高波數的運動（小渦流）中。

慣性子區中的能量譜

從低波數到高波數的能量傳輸稱為能量串級。它把湍能量從大尺度運動傳輸到小尺度運動，並最終被黏度耗散掉。這之間的尺度區間，即慣性子區中，由柯爾莫哥洛夫的假設可以推導出能量譜的普遍形式：

${\displaystyle E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.}$

各類條件下的大量實驗證據都支持這一結論。在實驗中測得的數值為 ${\displaystyle C=1.5}$。^[2]

壓強波動的譜

湍流中的壓強波動也可以以類似的方式描述。湍流中壓強平方的平均值可以用壓強譜 ${\displaystyle \pi (k)}$ 來表示：

${\displaystyle {\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.}$

對於沒有平均速度梯度的湍流（各向同性湍流），慣性子區中的譜是

${\displaystyle \pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3}.}$

其中 ${\displaystyle \rho }$ 是流體的密度，${\displaystyle \alpha =1.32C^{2}=2.97}$。^[3]如果有平均速度梯度（剪切流（英語：shear flow）)，則會在慣性子區中的譜中額外附加形如 ${\displaystyle k^{-11/3}}$ 的變化趨勢；但在較高波數的位置，形如 ${\displaystyle k^{-7/3}}$ 的變化趨勢占據主導地位。

自由流體界面微小擾動的譜

自由流體界面下方的壓強波動可以驅動液面位移。這種自由界面-湍流相互作用也可以用波數譜來描述。如果 ${\displaystyle \delta }$ 是界面距離平均位置的瞬時位移，位移平方的平均值可以用位移譜 ${\displaystyle G(k)}$ 來表示：

${\displaystyle {\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.}$

三維形式的壓強譜可以與楊-拉普拉斯公式相結合併得出^[4]：

${\displaystyle G(k)\propto k^{-19/3}.}$

在實驗中，這一 ${\displaystyle k^{-19/3}}$ 定律是在對無湍流射流表面的光學觀測中得出的。^[4]

注釋

1. Richardson, Lewis Fry. Weather Prediction by Numerical Processes. Boston: Cambridge University Press. 1922: 66 [2019-02-23]. ISBN 9780511618291.
2. Pope, S.B. Turbulent Flows. Cambridge University Press. 2000.
3. George, W.K.; Beuther, P.D. & Arndt, R.E.A. Pressure spectra in turbulent free shear flows. Journal of Fluid Mechanics. November 1984, 148: 155–191. Bibcode:1984JFM...148..155G. S2CID 119938972. doi:10.1017/S0022112084002299.
4. Bhunia, S.K.; Lienhard V, J.H. Surface Disturbance Evolution and the Splattering of Turbulent Liquid Jets. Journal of Fluids Engineering. December 1994, 116 (4): 721–727. doi:10.1115/1.2911841.

參考文獻

• Chorin, A.J., Vorticity and turbulence, Applied Mathematical Sciences 103, Springer, 1994, ISBN 978-0-387-94197-4
• Falkovich, G.; Sreenivasan, K.R., Lessons from hydrodynamic turbulence, Physics Today, 2006, 59 (4): 43–49, Bibcode:2006PhT....59d..43F, doi:10.1063/1.2207037
• Frisch, U., Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2
• Newell, A.C.; Rumpf, B., Wave turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 2011, 43 (1): 59–78, Bibcode:2011AnRFM..43...59N, doi:10.1146/annurev-fluid-122109-160807
• Richardson, L.F., Weather prediction by numerical process, Cambridge University Press, 1922, OCLC 3494280