羅素悖論

羅素悖論（英語：Russell's paradox），是英國哲學家伯特蘭·羅素於1901年提出的悖論，是一個關於類的內涵問題。

羅素悖論有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論、書目悖論。但理髮師悖論被一些人認為只是羅素悖論的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

定義

設${\displaystyle A=\{x\mid x\not \in x\}}$，那麼${\displaystyle A\in A\Leftrightarrow A\not \in A}$。

我們通常希望，任給一個性質（例如「年滿三十歲」就是一個性質），滿足該性質的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論。

設有一性質${\displaystyle P}$，並以一性質函數${\displaystyle P(x)}$表示，且其中的自變量${\displaystyle x}$具有特性${\displaystyle x\not \in x}$。現假設由性質${\displaystyle P}$能夠確定一個滿足性質${\displaystyle P}$的集合${\displaystyle A}$——也就是說 ${\displaystyle A=\{x\mid x\not \in x\}}$。那麼，${\displaystyle A\in A}$是否成立？

首先，若${\displaystyle A\in A}$，則${\displaystyle A}$是${\displaystyle A}$的元素，那麼${\displaystyle A}$具有性質${\displaystyle P}$，由性質函數${\displaystyle P}$可以得知${\displaystyle A\not \in A}$；

其次，若${\displaystyle A\not \in A}$，根據定義，${\displaystyle A}$是由所有滿足性質${\displaystyle P}$的類組成，也就是說，${\displaystyle A}$具有性質${\displaystyle P}$，所以${\displaystyle A\in A}$。

通俗詮釋

理髮師悖論

此節從理髮師悖論#內容（編輯 | 歷史）轉錄。

小城裡的理髮師放出豪言：他要為城裡人刮鬍子，而且一定只要為城裡所有「不為自己刮鬍子的人」刮鬍子。

但問題是：理髮師該為自己刮鬍子嗎？如果他為自己刮鬍子，那麼按照他的豪言「只為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他不應該為自己刮鬍子；但如果他不為自己刮鬍子，同樣按照他的豪言「一定要為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他又應該為自己刮鬍子。

用集合論的語言來描述理髮師悖論是這樣的：小城裡的人構成集合${\displaystyle A=\{a|a\ lives\ in\ the\ town\}}$，對於每個小城裡的人${\displaystyle a}$可以構造一個${\displaystyle A}$的子集${\displaystyle S_{a}=\{x|a\ shaves\ x\}}$，即${\displaystyle a}$給屬於${\displaystyle S_{a}}$的人刮鬍子。那麼，如果城裡人${\displaystyle a}$給自己刮鬍子，則${\displaystyle a\in S_{a}}$，如果${\displaystyle a}$不給自己刮鬍子，則${\displaystyle a\not \in S_{a}}$，如果${\displaystyle a}$不給任何人刮鬍子，則${\displaystyle S_{a}}$ 為空，即${\displaystyle S_{a}=\{\}}$。設理髮師為${\displaystyle s}$，則理髮師的豪言就是：${\displaystyle S_{s}=\{a|a\not \in S_{a}\}}$。問題是：如果${\displaystyle s\in S_{s}}$，這將與${\displaystyle S_{s}}$的定義矛盾，但如果${\displaystyle s\not \in S_{s}}$，根據${\displaystyle S_{s}}$的定義，又應該有${\displaystyle s\in S_{s}}$。理髮師悖論是個邏輯悖論。用集合論語言來描述並不是必需的，只是為了將來更容易說明它與羅素悖論不是一回事。

書目悖論

書目悖論（英語：Catalogue Paradox）是另一種羅素悖論的通俗解釋。其內容為，假設有一圖書館編制了一部書目，有且僅有列出那些未列出自身的書目，那麼這部書目會列出自身嗎？^[1]

解決方案

當一個句子、想法或公式引用自身時，就會出現自指。直到現在，真正意義上的悖論，其問題幾乎都是自指或自相關而引起。^[2] 儘管陳述可以是自指並且不自相矛盾（「This statement is written in English」是真實且非自相矛盾的帶有自指的陳述），但自指是悖論的一個常見要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》，任何命題不能包含自身，同理一個函數不能包含自身。

羅素悖論中，在邏輯上它們都有無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環。因此，羅素提出了惡性循環原則（英語：Vicious_circle_principle），禁止使用包含被定義對象本身的的集合來定義該對象。^[2]邏輯系統中，如果要求任何命題不能違反惡性循環原則，則可以避免類似羅素悖論等自指性悖論。

參考資料

1. Curry, H. B, Haskell B. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications. 1977: 5. ISBN 9780486634623. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)
2. Bolander, Thomas. Self-Reference (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition). [2020-12-28]. （原始內容存檔於2021-06-10）. In 1985, Yablo succeeded in constructing a semantic paradox that does not involve self-reference in the strict sense. ... Instead, it consists of an infinite chain of sentences, each sentence expressing the untruth of all the subsequent ones.

參見

• 自指
• 理髮師悖論
• 類的理論