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兩個或多個命題之間的邏輯不兼容 来自维基百科，自由的百科全书
在傳統邏輯學中，如果一個命題與自身或既定事實相衝突，則稱之為矛盾（英語：contradiction，又稱恆假）。這種情況經常用來發現人們的不誠實信念或偏見。亞里士多德提出的無矛盾律，進一步說明了應用邏輯的普遍原則，即一件事物不可能在同一時間對於相同的對象同時為是與非[1]。
 | 此條目沒有列出任何參考或來源。 (2014年9月21日) |
在當代的形式邏輯和類型論領域，「矛盾」一詞專指某個特定的命題，通常使用偽符號（）來表示。根據邏輯規則，如果一個命題能導出「假」，則該命題被視為矛盾，亦即它是一個永遠不成立的命題（也就是說，自我矛盾的論述）[2][3]。這個概念可以延伸應用到一系列的論述上，這時可以說這一系列論述中「包含有」矛盾。
漢語辭源出自《韓非子》中《難一》所述故事：
| “ | 楚人有鬻盾與矛者，譽之曰：「吾盾之堅，物莫能陷之。」以譽其矛曰：「吾矛之利，於物無不陷也。」或曰：「以子之矛陷子之盾，何如？」其人弗能應也。夫不可陷之盾與無不陷之矛，不可同世而立。 | ” |
白話文大意為：有一位賣盾牌和賣矛的楚國人，他讚譽自己賣的盾牌說：「我的盾牌堅固無比，任何物件都無法刺穿它。」又誇讚自己賣的矛說：「我的矛鋒利無比，於任何物件都可以刺穿。」有人問他說：「用你的矛來試著刺你的盾，將會如何？」其人一句話都無法回應。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛，是不可以同時存在。
邏輯學上，矛盾、自相矛盾或牴觸（contradiction）被更加特殊化的定義為同時斷言一個命題和它的否定。這個想法基於亞里士多德的無矛盾律，它聲稱「你不能同時聲稱某事物在同一方面既是又不是」。
當我們說命題S與P矛盾時，意思是二者相當於A和非A的關係，也就是S與P不能同時為真、亦不能同時為假。
舉例來說：「所有學生都用功」和「有些學生不用功」就是在邏輯上矛盾；另一個例子是「死刑已被廢除，嚴格禁止包括謀殺在內的任何罪行使用死刑；但為了受害者著想及平衡各方意見，若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪，政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」，在其中「死刑已被廢除」代表的就是「這個國家沒有死刑」，而「若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪，政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」則指向「這個國家有死刑」這點，顯然一個國家或地區不可能同時有死刑又沒有死刑，此種法律是自相矛盾。
習慣上說的矛盾其實是指邏輯學上的不一致，矛盾必然不一致，然而不一致不必然矛盾。
在演繹邏輯和數學中，矛盾通常作為有什麼東西錯誤了的跡象，你需要折回你的推理的步驟並"檢查你的前提"。這在數學中的反證法中發揮了巨大的作用：因為矛盾永遠不能為真，所以它永遠不能是有着全部為真的前提的有效論證的結論。要構造一個利用矛盾的證明，你需要從一組前提構造一個有效的論證，得出是邏輯矛盾的一個結論。因為結論為假，並且論證是有效的，唯一的可能性是一個或多個前提為假。在很多關鍵的數學證明中使用了這種方法，比如歐幾里得對沒有最大素數的證明，和康托爾對在0和1之間有不可數個實數的對角線證明。
矛盾同許多有名的悖論有關。其中之一是在一階謂詞演算中從矛盾中可以推導出任何命題（也叫陳述）。換句話說，依據謂詞演算，不管P和Q意味着什麼，如果P和¬P都為真的，則Q為真。在這個事實的表達中，矛盾被稱為在一階邏輯中的"邏輯爆炸"。
例如，下列論證是嚴格有效，就是說前提在邏輯上蘊涵結論：
下面的論證也是有效的：
注意這兩個論證共有的前提是錯誤的；5是奇數而不是偶數。所以此等論證都不是可靠，這意味着它們都沒有為信賴它的結論給出一個邏輯基礎。
可能大多數人認為這是怪異的，如果5既是偶數又是奇數，就能夠在邏輯上得出明顯的不相關的任何事情比如 神的存在性的結論。更加怪異的是，這個悖論還蘊涵了，如果一個人有是矛盾的任何兩個信仰，則這個人在邏輯上證實任何可想像到的信仰。
即使謂詞演算的基本規則對於好的推理方式都是可靠的，它們在一起就會蘊涵這個悖論。有兩個方法證明它。
第一個方法來自合取和蘊涵的真值表定義：
第二個方法基於真值表的在美學上的缺陷：
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