矛盾

在傳統邏輯學中，如果一個命題與自身或既定事實相衝突，則稱之為矛盾（英語：contradiction，又稱恆假）。這種情況經常用來發現人們的不誠實信念或偏見。亞里士多德提出的無矛盾律，進一步說明了應用邏輯的普遍原則，即一件事物不可能在同一時間對於相同的對象同時為是與非^[1]。

在當代的形式邏輯和類型論領域，「矛盾」一詞專指某個特定的命題，通常使用偽符號（英語：Up tack）（ $\bot$ （英語：Bottom type））來表示。根據邏輯規則，如果一個命題能導出「假（英語：False (logic)）」，則該命題被視為矛盾，亦即它是一個永遠不成立的命題（也就是說，自我矛盾的論述）^[2]^[3]。這個概念可以延伸應用到一系列的論述上，這時可以說這一系列論述中「包含有」矛盾。

詞源

漢語辭源出自《韓非子》中《難一》所述故事：

“

楚人有鬻盾與矛者，譽之曰：「吾盾之堅，物莫能陷之。」以譽其矛曰：「吾矛之利，於物無不陷也。」或曰：「以子之矛陷子之盾，何如？」其人弗能應也。夫不可陷之盾與無不陷之矛，不可同世而立。

”

白話文大意為：有一位賣盾牌和賣矛的楚國人，他讚譽自己賣的盾牌說：「我的盾牌堅固無比，任何物件都無法刺穿它。」又誇讚自己賣的矛說：「我的矛鋒利無比，於任何物件都可以刺穿。」有人問他說：「用你的矛來試著刺你的盾，將會如何？」其人一句話都無法回應。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛，是不可以同時存在。

日本明治時代哲學家井上哲次郎首次翻譯西文中的「contradiction」為「矛盾」。

邏輯學上的矛盾

邏輯學上，矛盾、自相矛盾或牴觸（contradiction）被更加特殊化的定義為同時斷言一個命題和它的否定。這個想法基於亞里士多德的無矛盾律，它聲稱「你不能同時聲稱某事物在同一方面既是又不是」。

當我們說命題S與P矛盾時，意思是二者相當於A和非A的關係，也就是S與P不能同時為真、亦不能同時為假。

舉例來說：「所有學生都用功」和「有些學生不用功」就是在邏輯上矛盾；另一個例子是「死刑已被廢除，嚴格禁止包括謀殺在內的任何罪行使用死刑；但為了受害者著想及平衡各方意見，若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪，政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」，在其中「死刑已被廢除」代表的就是「這個國家沒有死刑」，而「若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪，政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」則指向「這個國家有死刑」這點，顯然一個國家或地區不可能同時有死刑又沒有死刑，此種法律是自相矛盾。

習慣上說的矛盾其實是指邏輯學上的不一致，矛盾必然不一致，然而不一致不必然矛盾。

利用矛盾的證明

在演繹邏輯和數學中，矛盾通常作為有什麼東西錯誤了的跡象，你需要折回你的推理的步驟並"檢查你的前提"。這在數學中的反證法中發揮了巨大的作用：因為矛盾永遠不能為真，所以它永遠不能是有着全部為真的前提的有效論證的結論。要構造一個利用矛盾的證明，你需要從一組前提構造一個有效的論證，得出是邏輯矛盾的一個結論。因為結論為假，並且論證是有效的，唯一的可能性是一個或多個前提為假。在很多關鍵的數學證明中使用了這種方法，比如歐幾里得對沒有最大素數的證明，和康托爾對在0和1之間有不可數個實數的對角線證明。

涉及矛盾的悖論

矛盾同許多有名的悖論有關。其中之一是在一階謂詞演算中從矛盾中可以推導出任何命題（也叫陳述）。換句話說，依據謂詞演算，不管P和Q意味着什麼，如果P和¬P都為真的，則Q為真。在這個事實的表達中，矛盾被稱為在一階邏輯中的"邏輯爆炸"。

例如，下列論證是嚴格有效，就是說前提在邏輯上蘊涵結論：

前提: 5既是偶數又是奇數。（就是在上述公式中的P ∧ ¬P）。
結論：神存在。（就是Q）。

下面的論證也是有效的：

前提: 5既是偶數又是奇數。（就是P ∧ ¬P）。
結論：神不存在。（就是¬Q）。

注意這兩個論證共有的前提是錯誤的；5是奇數而不是偶數。所以此等論證都不是可靠，這意味着它們都沒有為信賴它的結論給出一個邏輯基礎。

可能大多數人認為這是怪異的，如果5既是偶數又是奇數，就能夠在邏輯上得出明顯的不相關的任何事情比如神的存在性的結論。更加怪異的是，這個悖論還蘊涵了，如果一個人有是矛盾的任何兩個信仰，則這個人在邏輯上證實任何可想像到的信仰。

這個悖論的證明

即使謂詞演算的基本規則對於好的推理方式都是可靠的，它們在一起就會蘊涵這個悖論。有兩個方法證明它。

第一個方法來自合取和蘊涵的真值表定義：

(P ∧ ¬P)為假。
所以，(P ∧ ¬P) → Q為空虛真理。

第二個方法基於真值表的在美學上的缺陷：

假設P ∧ ¬P。基於這個假定我們可以推導出：
1. P（合取除去）
2. ¬P（合取除去）
3. 假設¬Q。基於這個假定我們可以推導出：
  1. P (前面的結果)
4. 所以¬Q → P（條件證明）
5. ¬P → Q（前面一行的逆反命題）
6. Q（肯定前件）
所以 (P ∧ ¬P) → Q（條件證明）

參考文獻

[1]
Horn, Laurence R., Contradiction, Zalta, Edward N. (編), The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2018, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2018 [2019-12-10], （原始內容存檔於2019-03-18）
[2]
Contradiction (logic). TheFreeDictionary.com. [2020-08-14]. （原始內容存檔於2023-07-15）.
[3]
Tautologies, contradictions, and contingencies. www.skillfulreasoning.com. [2020-08-14]. （原始內容存檔於2024-04-18）.

參見

[1] [1]
Horn, Laurence R., Contradiction, Zalta, Edward N. (編), The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2018, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2018 [2019-12-10], （原始內容存檔於2019-03-18）

[2] [2]
Contradiction (logic). TheFreeDictionary.com. [2020-08-14]. （原始內容存檔於2023-07-15）.

[3] [3]
Tautologies, contradictions, and contingencies. www.skillfulreasoning.com. [2020-08-14]. （原始內容存檔於2024-04-18）.

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