熱傳播

熱傳（heat transfer）有三種方式：

• 熱傳導（heat conduction）：一個分子向另一個分子傳遞振動能，使熱能從高溫向低溫部分轉移。各種材料的熱傳導性能不同，傳導性能好的，如金屬，還包括了自由電子的移動，所以傳熱速度快，可以做熱交換器材料；傳導性能不好的，如石棉，可以做熱絕緣材料。
• 熱對流（heat convection）：是指由於流體的宏觀運動而引起的流體各部分之間發生相對位移，冷熱流體相互摻混所引起的熱量傳遞過程。不同的溫度導致引起系統的密度差是造成對流的原因。對流傳導因為牽扯到動力過程，所以比直接傳導迅速。
• 熱輻射（heat radiation）：是直接通過電磁波輻射向外發散熱量，傳導速度取決於熱源的絕對溫度，溫度越高，輻射越強。

根據傳熱的方式和工藝要求，設計熱交換器，幾乎各種化學工業都有熱交換過程，需要各種熱交換器。

熱傳分析

熱傳遞以其所有模式（即傳導，對流和輻射）發生，一般運輸方程的微分形式如下：^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial {(\rho \phi )}}{\partial t}}+{div\,(\rho u\phi )}={div\,(k\,grad\,\phi )}+{S_{\phi }}}$

（1）

可以通過有限差分法（FDM），有限體積法（FVM）和有限元素法（FEM）獲得上述方程的數值解。為了進行傳熱分析，將等式（1）中的標量函數ф替換為溫度（T），將擴散係數Γ替換為導熱係數k和源項${\displaystyle S_{\phi }}$由發熱項e或任何熱輻射源代替${\displaystyle Q_{i}}$或兩者兼而有之（取決於可用來源的性質），並且針對不同情況存在不同形式的方程式。為了簡單和容易理解，僅討論了一維情況。

可以通過以下兩種方式對物體進行傳熱分析

1. 穩態熱分析
2. 瞬態熱分析

穩態熱分析

穩態熱分析包括以下類型的控制微分方程。

情況1 ：一般穩態導熱方程。

在這種情況下，控制微分方程（1）變為：

${\displaystyle {div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S_{T}}\,}$

情況2 ：穩態熱傳導方程（不產生熱量）

在這種情況下，控制方程（1）變為：

${\displaystyle {div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}\,}$

情況3 ：穩態熱傳導方程（不產生熱，不對流）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

${\displaystyle {div\,(k\,grad\,T)}=0\,}$

瞬態熱分析

瞬態熱分析包括以下類型的控制微分方程。

情況1 ：瞬態熱傳導

在這種情況下，控制微分方程（1）變為：

${\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S_{T}}\,}$

情況2 ：瞬態熱傳導（不發熱）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

${\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}}$

情況3 ：瞬態熱傳導（不產生熱也沒有對流）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

${\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}={div\,(k\,grad\,T)}\,}$

穩態傳熱分析中控制微分方程的離散化

考慮某物體厚度為L，發熱為e，導熱係數為k。將物體細分為M個相等的厚度區域${\displaystyle \Delta x}$ = x / T沿x方向，距一定間格分割為各節點，如圖2所示。

圖2：平面壁一維傳導有限差分公式的節點和體積單元

如圖所示，x方向上的整個牆區域按元素劃分，所有內部元素的大小相同，而外部元素的大小為一半。

現在，要獲得內部節點的有限差分解，請考慮由節點m表示的元素，該元素被相鄰節點m-1和m + 1包圍。 有限差分技術假定牆壁中的溫度線性變化（如圖3所示）。

有限差分解決方案是（對於除0和最後一個節點之外的所有內部節點）：

${\displaystyle {\frac {(T_{m-1}^{i}-2T_{m}^{n}+T_{m}^{i})}{\Delta {x}^{2}}}+{\frac {e}{k}}=0}$

圖3：有限差分公式中的線性溫度變化

邊界條件

上式僅對內部節點有效。為了獲得外部節點的解決方案，我們必須應用如下邊界條件（如適用）。^[2]

規定的熱通量邊界條件

${\displaystyle q_{0}A+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}$

邊界絕緣時（q = 0）

${\displaystyle kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}$

對流邊界條件

${\displaystyle hA{(T_{\infty }-T_{0})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}$

輻射邊界條件

${\displaystyle \epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}$

對流和輻射聯合邊界條件

${\displaystyle hA{(T_{\infty }-T_{0})}+\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}$

如圖4所示，或當將輻射和對流傳熱係數組合時，上式如下：

${\displaystyle hA_{combined}{(T_{\infty }-T_{0})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0\,}$

圖4：平面壁左邊界上對流和輻射相結合的有限差分公式的示意圖

對流，輻射和熱通量邊界條件的組合

${\displaystyle q_{0}A+hA{(T_{\infty }-T_{0})}+\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}$

接觸面邊界條件

在非均質物體，如複合壁中，具有不同熱物理特性的不同物質緊密接合在一起。假定兩種不同的固體介質A和B完全接觸，因此在節點m的界面處具有相同的溫度（如圖5所示）。

${\displaystyle k_{A}A{\frac {(T_{m-1}-T_{m})}{\Delta {x}}}+k_{B}A{\frac {(T_{m+1}-T_{m})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{A,m}}{2}}A\Delta {x}+{\frac {e_{B,m}}{2}}A\Delta {x}=0}$

圖5：兩種具有完美熱接觸的介質A和B的界面邊界條件的有限差分示意圖

在上式中，

${\displaystyle q_{0}}$ =表示指定的熱通量在${\displaystyle (W/m^{2})}$ ，

h =對流係數，

${\displaystyle h_{combined}}$ =對流和輻射的總純熱係數，

${\displaystyle T_{s}ur}$ =周圍表面的溫度，

${\displaystyle T_{(}\infty )}$ =環境溫度，

${\displaystyle T_{0}}$ =初始節點的溫度。 ${\displaystyle T_{0}}$到${\displaystyle T_{l}}$之間的熱流關係，也可適用於${\displaystyle T_{l}}$到${\displaystyle T_{2}}$之間；將${\displaystyle T_{0}}$到${\displaystyle T_{\infty }}$之間的熱流串聯，便能得經過該複合牆面，從室外到室內的熱流。

瞬態傳熱分析中控制微分方程的離散化

瞬態熱分析比穩定熱分析更重要，因為該分析包括隨時間變化的環境條件。在瞬態熱傳導中，溫度隨時間和位置而變化。如圖6所示，瞬態熱傳導的有限差分法解除了空間離散以外，還需要時間步階離散。

圖6：有限差分隨時間變化的問題涉及時間以及空間上的離散點

如圖7所示，存在平面壁中一維傳導有限差分法瞬態公式的節點和體積元素。

圖7：平面壁一維瞬態有限差分公式的節點和體積元素

對於這種情況，方程式（1）的有限差分顯式解如下：

${\displaystyle kA{\frac {(T_{m-1}^{i}-T_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+kA{\frac {(T_{m+1}^{i}-T_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+{e_{m}}A\Delta {x}=(\rho c_{p}\Delta xA){\frac {(T_{m}^{i+1}-T_{m}^{i})}{\Delta x}}}$

上面的方程可以針對溫度明確求解${\displaystyle (T_{m}^{i+1})}$給

${\displaystyle {T_{m}^{i+1}}=\tau {(T_{m+1}^{i}-T_{m}^{i})}+{(1-2\tau )}T_{m}^{i}+\tau {\frac {(e_{m}\Delta {x}^{2})}{k}}}$

此處，

${\displaystyle \tau ={\frac {(\alpha \Delta t)}{\Delta x^{2}}}\,}$

和

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}\,}$

這裡， ${\displaystyle \tau }$代表細胞傅立葉號， ${\displaystyle \alpha }$代表熱擴散率${\displaystyle c_{p}}$代表恆壓下的比熱， ${\displaystyle \Delta t}$代表時間步長， ${\displaystyle \Delta x}$代表空間步長。

上面的等式對所有內部節點均有效，並找到第一個和最後一個節點的關係，應用邊界條件（如適用），如穩態傳熱中所述。對於對流和輻射邊界，如照射物體的太陽輻射 ${\displaystyle q_{solar}}$ ，單位為 ${\displaystyle (W/m^{2})}$ ，反照率常數K已知，與溫度的關係如下：

${\displaystyle hA{(T_{\infty }^{i}-T_{0}^{i})}+\kappa Aq_{solar}=(\rho c_{p}\Delta xA){\frac {(T_{1}^{i}-T_{0}^{i})}{\Delta x}}}$

參考文獻

1. Versteeg, H. An Introduction to Computational Fluid Dynamics. Pearson Publications. 2009. ISBN 978-81-317-2048-6.
2. A. Cengel, Yunus. Heat and mass transfer. Tata McGraw-Hills. 2008. ISBN 978-0-07-063453-4.