點估計

在統計學中，點估計（英語：point estimation）是指以樣本數據來估計總體母數， 估計結果使用一個點的數值表示「最佳估計值」，因此稱為點估計。由樣本數據估計總體分布所含未知參數的真實值，所得到的值，稱為估計值。

點估計可以與區間估計形成對比：這種區間估計通常是在頻率論推斷的情況下的置信區間 ，或在貝葉斯推斷的情況下的可信區間 。

估計法

目前有多種估計法可供選擇，每種估計法都有不同屬性。

• 最小方差均值無偏估計 （MVUE），能夠使平方誤差損失函數的風險 （預期損失）最小化。
• 最佳線性無偏估計 （BLUE）
• 最小均方誤差 （MMSE）
• 中值無偏估計 ，能夠使絕對誤差損失函數的風險最小化
• 最大似然估計 （MLE）
• 矩估計和廣義矩估計

貝葉斯點估計

貝葉斯推斷通常基於後驗分布 。 許多貝葉斯估計量是後驗分布的集中趨勢統計量，例如，它的均值，中位數或模式：

• 後均值 ，最小化平方誤差損失函數的（後驗） 風險 （預期損失）;在貝葉斯估計中，風險是根據高斯觀察到的後驗分布來定義的。 ^[1]
• 後驗中位數 ，最小化絕對值損失函數的後驗風險，如拉普拉斯所觀察到的。 ^{[1] [2]}
• 最大後驗 （ MAP ），其發現最大的後驗分布;對於統一的先驗概率，MAP估計量與最大似然估計一致;

MAP估計具有良好的漸近性質，對於許多複雜問題，最大似然估計也存在局限性。 對於最大似然估計符合一致性的常規問題，最大似然估計的最終結果與MAP估計一致。 ^{[3] [4] [5]} 根據瓦爾德定理，貝葉斯估計是可以接受的。 ^{[4] [6]}

最小消息長度 （ MML ）點估計基於貝葉斯信息理論 ，並不與後驗分布直接相關。

貝葉斯濾波器存在以下特殊情況：

• 卡爾曼濾波器
• 維納過濾器

以下幾種計算統計迭代法與貝葉斯分析有密切聯繫：

• 粒子濾波器
• 馬爾可夫鏈蒙特卡洛 （MCMC）

點估計的屬性

• 估計量的偏差
• Rao-Cramér界

參見

• 預測推斷
• 歸納（哲學）
• 統計哲學
• 算法推斷

參考文獻

1. Dodge, Yadolah (編). Statistical data analysis based on the L1-norm and related methods: Papers from the First International Conference held at Neuchâtel, August 31–September 4, 1987. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1987.
2. Jaynes, E.T. Probability theory : the logic of science 5. print. Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. 2007: 172. ISBN 978-0-521-59271-0.
3. Ferguson, Thomas S. A course in large sample theory. Chapman & Hall. 1996. ISBN 0-412-04371-8.
4. Le Cam, Lucien. Asymptotic methods in statistical decision theory. Springer-Verlag. 1986. ISBN 0-387-96307-3.
5. Ferguson, Thomas S. An inconsistent maximum likelihood estimate. Journal of the American Statistical Association. 1982, 77 (380): 831–834. JSTOR 2287314. doi:10.1080/01621459.1982.10477894.
6. Lehmann, E.L.; Casella, G. Theory of Point Estimation, 2nd ed. Springer. 1998. ISBN 0-387-98502-6.

擴展閱讀

• Bickel, Peter J. & Doksum, Kjell A. Mathematical Statistics: Basic and Selected Topics I Second (updated printing 2007). Pearson Prentice-Hall. 2001.
• Lehmann, Erich. Theory of Point Estimation. 1983.
• Liese, Friedrich & Miescke, Klaus-J. Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection. Springer. 2008.