畢達哥拉斯平均

畢達哥拉斯平均是三種平均數的總稱，分別是算術平均數（A）、幾何平均數（G）及調和平均數（H）。其定義如下：

• ${\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})}$
• ${\displaystyle G(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}$
• ${\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

二個數a及b的平方平均數及三種畢達哥拉斯平均的圖示。調和平均數標示為H，幾何平均數標示為G，算術平均數標示為A，平方平均數標示為Q

上述的任一個平均數都滿足以下性質：

• ${\displaystyle M(x,x,\ldots ,x)=x}$
• ${\displaystyle M(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bM(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

若所有${\displaystyle x_{i}}$均為正，三個平均數之間有以下的順序關係：

${\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq G(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq H(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

其中的等式成立若且唯若所有的${\displaystyle x_{i}}$都相等。上式的不等式即為平均數不等式，也是冪平均不等式中的一個特例。

參照

• 算術-幾何平均數

外部連結

• Pythagorean means on MathWorld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）