極大與極小元

數學分支序理論中，預序集子集${\displaystyle S}$的極大元（英語：maximal elements）不小於${\displaystyle S}$的任何元素。極小元（minimal elements）可對偶地（英語：Duality (order theory)）定義，其不大於${\displaystyle S}$的任何元素。

提示：此條目頁的主題不是最大與最小元。

60的因數集${\displaystyle P}$，以整除關係為偏序，所成的哈斯圖。紅色子集${\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}$有兩個極大元${\displaystyle 3}$、${\displaystyle 4}$和一個極小元${\displaystyle 1}$。${\displaystyle 1}$同時也是最小元。

極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集${\displaystyle S}$的最大元需要「大於或等於」${\displaystyle S}$的全體元素（最小元同樣為其對偶），極大元則衹需「不小於」（例如不可比較（英語：Comparability））。若將預序集限縮至偏序集，則至多衹有一個最大元和一個最小元，但極大、極小元皆可有多於一個。^[1][2]但在全序集上，最大等價於極大，最小亦等價於極小。

以集族

${\displaystyle S:=\left\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\right\}}$

為例，其上的偏序為包含關係。當中${\displaystyle \{1,2\}}$極小，因為不包含族中任何其他集合，反之${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$極大，因為不被其他集合包含。${\displaystyle \{1,2,3\}}$則既非極小亦非極大，但${\displaystyle \{2,3,5\}}$同時為極小、極大。相比之下，${\displaystyle S}$無最大元和最小元。

定義

設${\displaystyle (P,\leq )}$為預序集，又設${\displaystyle S\subseteq P}$，則${\displaystyle S}$中關於${\displaystyle \,\leq \,}$的極大元定義為滿足以下性質的元素${\displaystyle m\in S}$：

若有${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle m\leq s,}$ 則必有${\displaystyle s\leq m.}$

與之類似，${\displaystyle S}$中關於${\displaystyle \,\leq \,}$的極小元是滿足以下性質的元素${\displaystyle m\in S}$：

若有${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle s\leq m,}$ 則必有${\displaystyle m\leq s.}$

等價地，亦可將${\displaystyle S}$關於${\displaystyle \,\leq \,}$的極小元定義為${\displaystyle S}$關於${\displaystyle \,\geq \,}$的極大元，其中對任意${\displaystyle p,q\in P}$，${\displaystyle q\geq p}$當且僅當${\displaystyle p\leq q}$。

若無明示子集${\displaystyle S}$，則所謂極大元預設是${\displaystyle P}$的極大元。

若預序集${\displaystyle (P,\leq )}$實為偏序集^{[註 1]}，或者限縮到${\displaystyle (S,\leq )}$是偏序集，則${\displaystyle m\in S}$為極大當且僅當${\displaystyle S}$無嚴格較${\displaystyle m}$大的元素。換言之，不存在${\displaystyle s\in S}$使${\displaystyle m\leq s}$及${\displaystyle m\neq s.}$ 將本段的${\displaystyle \,\leq \,}$號一律換成${\displaystyle \,\geq \,}$就得到極小元的描述。

存在性

極大/極小元不必存在。

• 例一：考慮實數系${\displaystyle \mathbb {R} }$的區間${\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$。對任意元素${\displaystyle m\in S}$，${\displaystyle s=m+1}$仍在${\displaystyle S}$中，但${\displaystyle m<s}$，因此沒有元素${\displaystyle m}$為極大。
• 例二：考慮有理數系${\displaystyle \mathbb {Q} }$的子集${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\}}$，因為根號2是無理數，對任何有理數${\displaystyle m\leq {\sqrt {2}}}$皆可找到另一有理數${\displaystyle s}$使${\displaystyle m<s<{\sqrt {2}}}$。

但在某些情況下，極大/極小元保證存在。

• 若${\displaystyle S}$為有限非空子集，則必有極大元和極小元。（對無窮子集無此結論，如整數系${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$就沒有極大元。）
• 佐恩引理斷言：「若偏序集${\displaystyle P}$中，每個全序子集${\displaystyle S}$皆有上界，則${\displaystyle P}$至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理和選擇公理，^[3]在數學的多個分支有重要推論，例如可證任何向量空間皆有基（極大的代數無關子集），或是任何域皆有代數閉包（代數擴張偏序下的極大元）。

唯一性

極大/極小元不必唯一。

各領域例子

• 帕累托效率中，「帕累托最優」的狀態即是帕累托改善偏序下的極大元，此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」（Pareto frontier）。
• 決策論中，可容決策規則（英語：admissible decision rule）是優勢（英語：dominating decision rule）偏序下的極大元。
• 現代投資組合理論中，風險（以低為優）與回報（以高為優）的積序（英語：product order）^{[註 2]}下，極大元稱為效率投資組合（efficient portfolio），組成的集合則為效率前緣（英語：efficient frontier）。
• 集合論中，某集合為有限當且僅當其任意非空子集族（以包含關係為偏序）皆有極小元。^{[註 3]}
• 抽象代數中，需要將最大公因數的概念推廣為極大公因子（英語：maximal common divisor），因為某些數系中，若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元（整除意義下）。
• 計算幾何中，點集的極大元（英語：maxima of a point set）是逐分量比較^{[註 2]}下的極大元。

註

1. 因此${\displaystyle p\leq q}$連同${\displaystyle q\leq p}$可推出${\displaystyle p=q}$。
2. 定義為：${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$當且僅當${\displaystyle a\leq c}$且${\displaystyle b\leq d}$。高維情形亦同。
3. 若有元素${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$，則集族${\displaystyle \left\{\{a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \},\{a_{1},a_{2},\ldots \},\{a_{2},\ldots \},\ldots \right\}}$無極小元。

參考文獻

1. Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics, American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3.
2. Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8
3. Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Dover Publications（英語：Dover Publications）. 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8.