格爾斯滕哈伯代數

格爾斯滕哈伯代數是Gerstenhaber在研究結合代數的形變時發現的。一個結合代數的形變跟它的Hochschild上復形有密切的關係，Gerstenhaber證明，Hochschild上復形實際上形成一個微分分次李代數，並且這個微分分次李代數完全控制了該結合代數的形變。Gerstenhaber的研究受到小平邦彥（Kodaira）-Spencer關於流形復結構形變研究的啟發，這些思想後來由Deligne和Kontsevich等人加以系統完成。

在下面後4個例子中，例2和例3是1990年代之前發現的，1993年，Deligne在給一些數學家的通信中猜測它們之間也許是有關係的，用數學語言表述，即：對任何一個結合代數，其Hochschild上復形是little disks operad的鏈(chain) operad上的代數。這就是著名的Deligne猜想，最後由Kontsevich-Soibelman^[1]，McClure-Smith^[2]，Tamarkin^[3]和Voronov^[4]等人解決。Deligne猜想的證明涉及到了很多高深的數學工具，而這些工具都與拓撲共形場論有着密切的聯繫，因而引起了很多人的興趣。

稍後，在1997年，Chas和Sullivan的研究論文發表了名為弦拓撲的論文^[5]，發現了例5。他們的研究結果引起了數學家們很大的關注和進一步的研究，從而開闢了一門嶄新的學科。

最後，需要補充的是，關於Gerstenhaber代數的研究往往伴隨着Batalin-Vilkovisky代數（簡稱BV代數）的研究。BV代數是一類特殊的Gerstenhaber代數，往往由Gerstenhaber代數裡面的某種對稱性而得到，如^[6][5]。

定義

設 ${\displaystyle \;V\;}$ 是數域 ${\displaystyle \;k\;}$ 上的一個分次向量空間。${\displaystyle \;V\;}$ 上的一個格爾斯滕哈伯代數結構是三元組 ${\displaystyle (V,\bullet ,[\;,\;])}$，滿足以下關係：

1. ${\displaystyle \;(V,\bullet )\;}$ 是${\displaystyle \;k\;}$ 上的分次、交換、結合的代數；
2. ${\displaystyle \;(V,[\;,\;])\;}$是李括號次數為 -1 的分次李代數；
3. 李括號對其兩個變元都是乘積 ${\displaystyle \;\bullet \;}$ 的導子，即對任給 ${\displaystyle a,b,c\in V}$，

${\displaystyle [a,b\bullet c]=[a,b]\bullet c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b\bullet [a,c].}$

有些文獻也把格爾斯滕哈伯代數稱為辮代數（braid algebra）。

例子

下面是一些Gerstenhaber代數的例子，因為構造都比較複雜，因此只列出結果，有興趣的讀者可以參考所給文獻資料：

1. 設${\displaystyle \;{\mathfrak {g}}\;}$是一個李代數，記${\displaystyle \;\Lambda {\mathfrak {g}}\;}$為其所對應的鏈復形，則在其上有一個自然的Gerstenhaber代數結構，乘法由外積給出，李括號為從${\displaystyle \;{\mathfrak {g}}\;}$上誘導的李括號給出（這是一個比較平凡的例子，因此一般人並不重點討論，但它在構造Gerstenhaber代數的同倫論中非常重要）；
2. 設${\displaystyle \;A\;}$是數域${\displaystyle \;k\;}$上的結合代數，Gerstenhaber證明：${\displaystyle \;A\;}$的霍赫希爾德上同調形成一個Gerstenhaber代數^[7]；
3. 記${\displaystyle \;D\;}$為little disks operad，Cohen證明：${\displaystyle \;D\;}$的同調群形成一個Gerstenhaber代數^[8]；
4. Lian和Zuckerman證明了，在弦理論的背景（background，指從弦理論裡面抽象出來的代數結構）中，存在一個Gerstenhaber代數結構^[6]；
5. 設${\displaystyle \;M\;}$是一個緊緻光滑的流形，${\displaystyle \;LM\;}$是它的自由環路空間（free loop space）。Chas和Sullivan證明：${\displaystyle \;LM\;}$的同調群形成一個Gerstenhaber代數^[5]。

參見

• Batalin-Vilkovisky代數
• 弦拓撲

參考資料

1. Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
2. McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
3. Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164
4. Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
5. Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.
6. Lian, B.H., Zuckerman, G.J., New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
7. Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.
8. Cohen, F.R., The homology of ${\displaystyle \;C_{n+1}\;}$-spaces,${\displaystyle \;n\geq 1\;}$, in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.