李亞普諾夫指數

在數學領域中，李亞普諾夫指數（Lyapunov exponent）或李亞普諾夫特徵指數（Lyapunov characteristic exponent）用於量化動力系統中無限接近的軌跡之間的分離率。具體而言，相空間中初始間隔${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$的兩條軌跡的分離率為（假定分離可按線性近似來處理）

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|\,}$

其中${\displaystyle \lambda }$即為李亞普諾夫指數。

當初始分離向量的方向不同時，其分離率也不同。因而存在李亞普諾夫指數譜（spectrum of Lyapunov exponents），其數量與相空間的維度相同。通常將其中最大的稱為最大李亞普諾夫指數（Maximal Lyapunov exponent，簡稱MLE），因為它決定了動力系統的可預測性。正的MLE通常表明系統是混沌的（假定其他條件滿足，如相空間的緊緻性）。需要注意的是，任意初始分離向量一般包括了MLE所在方向的部分分量，由於其隨指數增長的特徵，其他分量的效果隨着時間最終會被掩蓋。

李亞普諾夫指數是以俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫的名字命名的。

最大李亞普諾夫指數

最大李亞普諾夫指數定義為

${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}.}$

極限${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}$確保任何時間線性近似的可行性^[1]。

對離散時間系統（映射或迭代）${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$和以${\displaystyle x_{0}}$為起始的軌跡，上式可以轉換成

${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|.}$

參考文獻

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1. Cencini, M.; et al. World Scientific , 編. Chaos From Simple models to complex systems. 2010. ISBN 978-981-4277-65-5.