施瓦茨三角形

在幾何學中，施瓦茨三角形（英語：Schwarz triangle）是一個球面三角形，可用於球面鑲嵌，透過在其邊緣反射，但是可能會重疊。他們被歸類於施瓦茨1873^[1]。

施瓦茨三角形除了可以定義在球面之外，也可以定義於歐幾里得平面或雙曲面，而做成便面鑲嵌或雙曲面鑲嵌。在球面上的每個施瓦茨三角形定義了一個有限群，而在歐氏或雙曲平面，則會定義出一個無限群。

施瓦茨三角形是由三個有理數(p q r)來代表每個頂點的角度。值n/d表示的頂角為半圓的d/n，「2」表是一個直角。若p、q、r皆為整數，則將其稱為莫比烏斯三角形（英語：Möbius triangle）並且對應於一個沒有重疊的鑲嵌，其對稱群稱為一個三角群。在球面移共有3個莫比烏斯三角形加一個單參數族；在歐氏平面上有三個莫比烏斯三角形；而在羅氏雙曲空間中有三個參數族的莫比烏斯三角形，並沒有特例。

空間

施瓦茨三角形所屬的空間取決於其p、q、r值：

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}>1{\text{ : }}}$　球面

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=1{\text{ : }}}$　歐氏平面

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1{\text{ : }}}$　羅氏平面（雙曲面）

圖形表示

施瓦茨三角形可以用三角圖來表示。每個節點表示施瓦茨三角形的邊（鏡射）。每條邊是由相應的反射階數合理的數值標示，即π/頂點角。

Schwarz triangle (p q r) on sphere

Schwarz triangle graph

2階邊代表垂直於鏡射，可以在該圖中被忽略。在考克斯特 - 迪肯符號表示三角形圖中會隱藏2階邊。 考克斯特組可用於更簡單的符號，如(p q r)的循環圖，(p q 2) = [p,q](直角三角形)，和(p 2 2) = [p]×[]。

參考文獻

1. Schwarz, H. A., Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1873, 75: 292–335 [2014-05-28], ISSN 0075-4102, （原始內容存檔於2020-08-09） (Note that Coxeter references this as "Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe", which is the short title used in the journal page headers)

• Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Table 3: Schwarz's Triangles)
• Wenninger, Magnus J., An introduction to the notion of polyhedral density, Spherical models, CUP Archive: 132–134, 1979, ISBN 978-0-521-22279-2

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Schwarz triangle. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra. bendwavy.org.