施圖姆定理

施圖姆定理是一個用於決定多項式的不同實根的個數的方法。這個方法是以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆命名的。

施圖姆定理與代數基本定理的一個區別是，代數基本定理是關於多項式的實根或復根的個數，把重根也計算在內，而施圖姆定理則只涉及實根，且不把重根計算在內。

標準施圖姆序列

我們首先從以下不含重根的多項式構造一個施圖姆序列：

${\displaystyle X=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.}$

標準施圖姆序列是把多項式長除法應用於${\displaystyle X}$和它的導數${\displaystyle X_{1}=X'}$時，所得到的中間結果的序列。

標準施圖姆序列由以下公式計算：

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{2}&=&-{\rm {rem}}(X,X_{1})\\X_{3}&=&-{\rm {rem}}(X_{1},X_{2})\\&\vdots &\\0&=&-{\rm {rem}}(X_{r-1},X_{r}),\end{matrix}}}$

也就是說，序列中每一項都是前兩項相除所得的餘數，並將其變號。由於當${\displaystyle 1\leq i<r}$時，${\displaystyle \operatorname {deg} X_{i+1}\leq \operatorname {deg} X_{i}-1}$，因此這個序列最終要停止。最後一個多項式，${\displaystyle X_{r}}$，就是${\displaystyle X}$和它的導數的最大公因式。由於${\displaystyle X}$沒有重根，因此${\displaystyle X_{r}}$是一個常數。於是，標準施圖姆序列為：

${\displaystyle X,X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}.\,}$

表述

設${\displaystyle V_{\xi }}$為以下序列中符號變化的次數（零不計算在內）：

${\displaystyle X(\xi ),X_{1}(\xi ),X_{2}(\xi ),\ldots ,X_{r}(\xi ),\,\!}$

其中${\displaystyle X}$是不含重根的多項式。於是，施圖姆定理說明，對於兩個實數${\displaystyle a,b}$，開區間${\displaystyle (a,b)}$中的不同根的個數為${\displaystyle V_{a}-V_{b}}$。

應用

通過恰當選擇${\displaystyle a,b}$，這個定理可以用來計算多項式的實根的總個數。例如，柯西發現的一個定理說明，係數為${\displaystyle a_{i}}$的多項式的所有實根都在區間${\displaystyle [-M,M]}$內，其中：

${\displaystyle M=1+{\frac {\max _{i=0}^{n-1}|a_{i}|}{|a_{n}|}}.\,\!}$

除此以外，我們還可以利用下列事實：對於很大的正數${\displaystyle x}$，以下多項式的符號

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots \,\!}$

是${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})}$，而${\displaystyle \operatorname {sgn}(P(-x))}$則是${\displaystyle \operatorname {sgn}((-1)^{n}a_{n})}$。

用這種方法，僅僅計算施圖姆序列中首項係數的符號變化，就可以得出多項式的不同實根的個數。

通過施圖姆定理的幫助，我們還可以決定某個給定根（例如${\displaystyle \xi }$）是幾重根。確實，假設我們知道${\displaystyle \xi }$在${\displaystyle (a,b)}$內，且${\displaystyle V_{a}-V_{b}=1}$。那麼，${\displaystyle \xi }$是${\displaystyle m}$重根正好當${\displaystyle \xi }$是${\displaystyle X_{r}}$的${\displaystyle m-1}$重根時（這是因為它是${\displaystyle X}$和它的導數的最大公因式）。

一般的施圖姆序列

${\displaystyle [a,b]}$ 上的施圖姆序列，是實係數多項式 ${\displaystyle X}$ 的一個有限序列${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{r}}$，使得：

1. ${\displaystyle X_{r}}$在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上沒有根
2. ${\displaystyle X_{0}(a)X_{0}(b)\neq 0}$
3. 如果對於${\displaystyle \xi \in [a,b],1\leq i\leq r-1,X_{i}(\xi )=0}$，那麼${\displaystyle X_{i-1}(\xi )X_{i+1}(\xi )<0}$
4. 若對於${\displaystyle \xi \in [a,b],X(\xi )=0}$ ,則存在${\displaystyle \delta >0}$,使得 ${\displaystyle c\in (\xi -\delta ,\xi )}$時，${\displaystyle X_{0}(c)X_{1}(c)<0}$ 而 ${\displaystyle c\in (\xi ,\xi +\delta )}$ 時 ${\displaystyle X_{0}(c)X_{1}(c)>0}$

我們可以驗證每一個標準施圖姆序列確實是如上定義的施圖姆序列。

相關條目

• 勞斯–赫爾維茨穩定性判據
• 笛卡兒符號法則

參考資料

• D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

外部連結

• 施圖姆定理的C代碼