拉格朗日定理 (群論)

拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。

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定理陳述

拉格朗日定理^[1] — 如果 ${\displaystyle H}$ 是群 ${\displaystyle G}$ 的子群^{[註 1]}，那麼 $${\displaystyle |G|=|H|[G:H]}$$ 而如果 ${\displaystyle G}$ 是有限群，那麼這個定理可以簡化成—— ${\displaystyle |H|}$ 是 ${\displaystyle |G|}$ 的因數。

證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質：

1. 一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小^{[註 2]}（ Cardinality ）^[2]。
2. 一個子群的所有陪集分割^{[註 3]}了整個群^[3]。
3. 根據集合的特性， ${\displaystyle G}$ 的大小可以寫成是陪集的大小（ ${\displaystyle |H|}$ ）乘上^{[註 4]}陪集的數量（ ${\displaystyle [G:H]}$ ）。

推論

1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 ${\displaystyle G}$ 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 ${\displaystyle G}$ 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
2. 如果 ${\displaystyle |G|}$ 是質數，那麽 ${\displaystyle G}$ 同構於質數階的循環群 ${\displaystyle C_{|G|}}$ （因為質數沒有 ${\displaystyle 1}$ 和自身以外的因數）^[4]。
3. 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論^[5]。

逆命題

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 ${\displaystyle |G|}$ 的因數可能不是任何子群的階。例如交錯群 ${\displaystyle A_{4}}$ 的階是 ${\displaystyle 12}$ ，但它沒有任何階是 ${\displaystyle 6}$ 子群^[6]。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果 ${\displaystyle G}$ 是可解群的話，則西羅定理還可以進一步推廣成霍爾定理（英語：Hall subgroup#Hall's theorem）。

參見

• 群
• 陪集
• 費馬小定理
• 西羅定理
• 有限群
• 階 (群論)

註解

1. 沒有假設是有限群
2. 或稱——勢
3. 意思是每個群元素都位在剛好一個（ exactly one ）陪集之中
4. cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

引用

1. Hungerford 1974，第39頁，Corollary 4.6.
2. Hungerford 1974，第38頁，Theorem 4.2.
3. Hungerford 1974，第38頁，Corollary 4.3.
4. Gallian 2012，第149頁，Corollary 3.
5. Gallian 2012，第149頁，Corollary 5.
6. Gallian 2012，第149頁，Example 5.

參考文獻

• Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 （英語）.
• Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英語）.