慣性波

慣性波，也稱為慣性振盪、慣性內波，是一種可能出現在旋轉流體中的機械波。與通常在海灘或浴缸中看到的表面重力波不同，慣性波流過流體內部，而不是表面。與任何其他類型的波一樣，慣性波是由恢復力引起的，並以其波長和頻率為特徵。因為慣性波的恢復力是科里奧利力，它們的波長和頻率以一種特殊的方式相關。慣性波是橫向的。最常見的是在大氣、海洋、湖泊和實驗室實驗中觀察到它們。羅斯貝波、地轉流和地轉風是慣性波的例子。慣性波也可能存在於旋轉地球的熔融核心中。

赤道慣性波脈衝在穩定旋轉的球形室內引起流體流動模式。該截面上的箭頭表示球體繼續沿其軸順時針旋轉時在赤道平面內的流動方向和強度，如左圖所示。紅色表示流出平面；藍色表示流入平面。

恢復力

慣性波通過科里奧利力恢復平衡，這是旋轉的結果。準確地說，科里奧利力（與離心力一起）出現在旋轉框架中，以解釋這樣一個框架總是在加速的事實。因此，慣性波沒有旋轉就無法存在。科里奧利力比繩子上的張力更複雜，與運動方向成 90° 角，其強度取決於流體的旋轉速度。這兩個性質導致了慣性波的特殊特性。

特徵

慣性波只有在流體旋轉時才有可能，並且存在於流體的主體中，而不是在其表面。像光波一樣，慣性波是橫向的，這意味着它們的振動垂直於波的傳播方向發生。慣性波的一個獨特的幾何特徵是它們的相速度，它描述了波的波峰和波谷的運動，垂直於它們的群速度，它是能量傳播的量度。

儘管任何頻率的聲波或電磁波都是可能的，但慣性波只能存在於從零到流體旋轉速度兩倍的頻率範圍內。此外，波的頻率取決於其傳播方向。垂直於旋轉軸傳播的波的頻率為零，有時稱為地轉模式。平行於軸傳播的波具有最大頻率（旋轉速度的兩倍），中間角度的波具有中頻。在自由空間中，慣性波可以以介於 0 到兩倍旋轉速率之間的任何頻率存在。然而，一個封閉的容器可以對慣性波的可能頻率施加限制，就像對任何類型的波一樣。封閉容器中的慣性波通常稱為慣性模式。例如，在球體中，慣性模式被迫採用離散頻率，從而在不存在模式的地方留下間隙。

慣性波的例子

任何一種流體都可以支持慣性波：水、油、液態金屬、空氣和其他氣體。慣性波最常見於行星大氣（羅斯貝波、地轉風）以及海洋和湖泊（地轉流）中，它們負責大部分發生的混合。受海底坡度影響的慣性波通常稱為羅斯貝波。慣性波可以在實驗室實驗或流體旋轉的工業流中觀察到。慣性波也可能存在於地球的液態外核中，並且至少有一組[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）聲稱存在它們的證據。同樣，慣性波也可能出現在旋轉的天文流中，如恆星、吸積盤、行星環和星系。

數學描述

流體流動由Navier-Stokes 動量方程控制。流速${\displaystyle {\vec {u}}}$具有粘性的流體${\displaystyle \nu }$在壓力之下${\displaystyle P}$並以速率旋轉${\displaystyle \Omega }$隨時間變化${\displaystyle t}$根據

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}.}$

右側的第一項說明壓力，第二項說明粘性擴散，動量方程（上圖）右側的第三項（最後一項）是科里奧利項。

準確地說， ${\displaystyle {\vec {u}}}$是在旋轉參考系中觀察到的流速。由於旋轉參考系正在加速（即非慣性系），因此這種坐標變換會產生兩個附加（偽）力（如上所述）：離心力和科里奧利力。在上面的等式中，離心力作為廣義壓力${\displaystyle P}$的一部分，即 ${\displaystyle P}$與平時的壓力${\displaystyle p}$有關 ，${\displaystyle p}$取決於與旋轉軸的距離${\displaystyle r}$ ， 有下面的關係式：

${\displaystyle P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega ^{2}.}$

在旋轉速度大的情況下，科里奧利力和離心力與其他項相比變大。相比之下，擴散和「對流導數」（左側第二項）可以忽略不計。取兩邊的旋度並應用一些向量恆等式，結果得：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.}$

該方程的一類解是滿足兩個條件的波。首先，如果${\displaystyle {\vec {k}}}$是波矢量，

${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,}$

也就是說，波必須是橫向的，如上所述。第二，解需要頻率${\displaystyle \omega }$滿足色散關係

${\displaystyle \omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },}$

其中${\displaystyle \theta }$是旋轉軸與波的方向之間的角度。這些特定的解被稱為慣性波。

色散關係看起來很像動量方程中的科里奧利項——注意旋轉速率和常係數2，它直接暗示了慣性波的可能頻率範圍，以及它們的頻率對其方向的依賴性。

延伸閱讀

• Aldridge, K. D.; I. Lumb. Inertial waves identified in the Earth's fluid outer core. Nature. 1987, 325 (6103): 421–423. Bibcode:1987Natur.325..421A. S2CID 4312055. doi:10.1038/325421a0.
• Greenspan, H. P. The Theory of Rotating Fluids. Cambridge University Press. 1969.
• Landau, L. D.; E. M. Lifschitz. Fluid Mechanics, Second Edition. New York: Elsevier. 1987. ISBN 978-0-7506-2767-2.