平衡點 (數學)

在數學中，平衡點（equilibrium point）是相對微分方程或差分方程的概念，多指微分方程的常數解（constant solution）。

定義

對於微分方程

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

若${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=0}$對任意${\displaystyle t}$都成立，則稱${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$為此微分方程的平衡點。

類似地，對於差分方程

${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k}),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

若${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$對${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$都成立，則稱${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$為此差分方程的平衡點。

分類

微分方程可以被線性化為以下形式

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {x} }$

其中${\displaystyle \mathbf {A} }$是${\displaystyle \mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$在平衡點${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$處的雅可比矩陣。通過觀察矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$的特徵值的符號，可以判斷平衡點${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$的穩定性。

若${\displaystyle \mathbf {A} }$的所有的特徵值的實部均不為0，則${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$被稱為雙曲平衡點。若所有特徵值的實部均為負值，則此平衡點是穩定點。若至少存在一個特徵值的實部為正值，則此平衡點是不穩定點。若至少有一個特徵值的實部為正，且至少有一個特徵值的實部為負，則此平衡點是鞍點。

關於差分方程的平衡點也可作相似的分類。設${\displaystyle \mathbf {G} }$是${\displaystyle \mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$在平衡點${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$處的雅可比矩陣。

若${\displaystyle \mathbf {A} }$的所有的特徵值的模均不為1，則${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$被稱為雙曲平衡點。若所有特徵值的模均為小於1，則此平衡點是穩定點。若至少存在一個特徵值的模大於1，則此平衡點是不穩定點。若至少有一個特徵值的模大於1，且至少有一個特徵值的模小於1，則此平衡點是鞍點。