希爾伯特符號

在數學中，如果給定一個局部域 ${\displaystyle K}$，比如說實數域或p-進數域，設其去掉0後的乘法群為K^×，則希爾伯特符號是一個關於K^×的由互反律抽離而來的代數建構。希爾伯特符號得名於數學家大衛·希爾伯特。

具體來說，希爾伯特符號是一個從 K^× × K^× 射到 {−1,1} 的函數 ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$ ：

${\displaystyle h\left(a,b\right)={\begin{cases}\;\;\,+1\\\;\;\,-1\end{cases}}}$	如果方程 ${\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}}$ 有非零的正整數解 ${\displaystyle (x,y,z)}$
	如果方程 ${\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}}$ 只有零解

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；

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性質

由定義可以直接得到希爾伯特符號的三個性質：

• 如果 ${\displaystyle a}$ 是完全平方數，那麼對任意的 ${\displaystyle b}$，都有${\displaystyle h(a,b)=1}$。
• 對${\displaystyle \mathbf {K} ^{\times }}$中任意 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，${\displaystyle h(a,b)=h(b,a)}$。
• 如果 ${\displaystyle a\in \mathbf {K} ^{\times }}$ 而且 ${\displaystyle a-1\in \mathbf {K} ^{\times }}$ ，那麼${\displaystyle h(a,1-a)=1}$。

進一步可以證明，${\displaystyle h(a,bc)=h(a,b)h(a,c)}$。

參見

• 類域論
• 雅可比符號
• 勒讓德符號
• 二次互反律

外部連結

• Mathworld中的希爾伯特符號 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考來源

• Z. I. Borevich, I. R. Shafarevich. Number theory. Academic Press. 1966. ISBN 0-12-117851-X.
• Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton University Press, 1971, MR0349811
• Vostokov, S. V.; Fesenko, I. B., Local fields and their extensions, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002 [2008-09-01], ISBN 978-0-8218-3259-2, （原始內容存檔於2012-07-17）
• Serre, Jean-Pierre, A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics 7, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-90040-5