布拉利-福爾蒂悖論

在集合論此一數學領域裡，布拉利-福爾蒂悖論斷言，樸素建構「所有序數的集合」會導致矛盾，因此每個允許此一構造的系統都會顯得自相矛盾。此一悖論是以切薩雷·布拉利-福爾蒂來命名的，他在1897年發現了此一悖論。

用馮·諾伊曼序數來陳述

由所有序數${\displaystyle \Omega }$ 所組成的集合帶有序數的所有性質，所以此集合自身也必須被視為是一個序數。接下來，我們可以建構出此序數的後繼序數${\displaystyle \Omega +1}$，後者會嚴格大於前者。不過，這個後繼序數也必然是${\displaystyle \Omega }$ 內的元素，因為${\displaystyle \Omega }$ 包括所有的序數，而因此：

${\displaystyle \Omega <\Omega +1}$ 且 ${\displaystyle \Omega +1<\Omega }$

更一般的陳述

上述悖論版本是有時代錯誤的，因為它假定了馮·諾伊曼的序數定義，在他的定義下序數是所有前面序數的集合，在 Burali-Forti 提出這個悖論的時候還沒有這種定義。下面是有更少假定的版本: 假設在未指定方式下對每個良序排序關聯上叫做它的「序類型」的一個對象(序類型是序數)。「序類型」(序數)自身是在自然方式下良序的，而這個良序排序必定有一個序類型 ${\displaystyle \Omega \ }$。容易證實在樸素集合論(在 ZFC 中仍是真的而在新基礎中不是)中，所有小於一個固定的 ${\displaystyle \alpha \ }$ 的序數的序類型是 ${\displaystyle \alpha \ }$ 自身。所以小於 ${\displaystyle \Omega \ }$ 的所有序數的序類型是 ${\displaystyle \Omega \ }$ 自身。但是這意味着作為序數的真初始片段的序類型 ${\displaystyle \Omega \ }$，嚴格的小於所有序數的序類型，但是按照定義後者就是 ${\displaystyle \Omega \ }$ 自身。這是荒謬的!

注意如果我們使用馮·諾伊曼的序數定義，在其中每個序數等同為所有前面序數的集合，則這個悖論是不可避免的: 小於一個固定的 ${\displaystyle \alpha \ }$ 的所有序數的序類型是 ${\displaystyle \alpha \ }$ 自身必定為真。馮·諾伊曼序數的搜集，像在羅素悖論中的搜集一樣，不能是使用經典邏輯的集合論的一個集合。但是在新基礎中序類型的搜集（定義為所有良序排序在類似性下的等價類）實際上是個集合，這個悖論被避免是因為小於 ${\displaystyle \Omega \ }$ 的所有序數的序類型變成不是 ${\displaystyle \Omega \ }$。

悖論在 ZFC 中的解決

現代公理化集合論通過簡單的不允許用無限制的概括公理集合構造來繞過這個悖論，而在弗雷格的公理系統中允許構造「有性質 ${\displaystyle P}$ 的所有集合」。在新基礎中有一個非常不同的解決。

外部連結

• 斯坦福哲學百科: "Paradoxes and Contemporary Logic （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" -- by Andrea Cantini.