對數微分法

對數微分法（英語：Logarithmic differentiation）是在微積分學中，通過求某函數f的對數導數（英語：Logarithmic derivative）來求得函數導數的一種方法， ^[1]

${\displaystyle [\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.}$

這一方法常在函數對數求導比對函數本身求導更容易時使用，這樣的函數通常是幾項的積，取對數之後，可以把函數變成容易求導的幾項的和。這一方法對冪函數形式的函數也很有用。對數微分法依賴於鏈式法則和對數的性質（尤其是自然對數），把積變為求和，把商變為做差^[2][3]。這一方法可以應用於所有恆不為0的可微函數。

概述

對於某函數

${\displaystyle y=f(x)\,\!}$

運用對數微分法，通常對函數兩邊取絕對值後取自然對數^[4]。

${\displaystyle \ln |y|=\ln |f(x)|\,\!}$

運用隱式微分法^[5]，可得

${\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$

兩邊同乘以y，則方程左邊只剩下dy/dx：

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\times {\frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).}$

對數微分法有用，是因為對數的性質可以大大簡化複雜函數的微分^[6]，常用的對數性質有：^[3]

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a)}$

通用公式

有一如下形式的函數，

${\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}.}$

兩邊取自然對數，得

${\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}$

兩邊對x求導，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}$

兩邊同乘以${\displaystyle f(x)}$，可得原函數的導數為

${\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}}$

應用

積函數

對如下形式的兩個函數的積函數

${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,\!}$

兩邊取自然對數，可得如下形式的和函數

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x))\,\!}$

應用鏈式法則，兩邊微分，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}}$

整理，可得^[7]

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}=g(x)h(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}$

商函數

對如下形式的兩個函數的商函數

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\,\!}$

兩邊取自然對數，可得如下形式的差函數

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln {\Bigg (}{\frac {g(x)}{h(x)}}{\Bigg )}=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!}$

應用鏈式法則，兩邊求導，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}}$

整理，可得

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}$

右邊通分之後，結果和對${\displaystyle f(x)}$運用除法定則所得結果相同。

複合指數函數

對於如下形式的函數

${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!}$

兩邊取自然對數，可得如下形式的積函數

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))\,\!}$

應用鏈式法則，兩邊求導，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}}$

整理，得

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.}$

與將函數f看做指數函數，直接運用鏈式法則所得結果相同。

參見

• 數學主題

• 對數恆等式

參考文獻

1. Krantz, Steven G. Calculus demystified. McGraw-Hill Professional. 2003: 170. ISBN 0-07-139308-0.
2. N.P. Bali. Golden Differential Calculus. Firewall Media. 2005: 282. ISBN 81-7008-152-1.
3. Bird, John. Higher Engineering Mathematics. Newnes. 2006: 324. ISBN 0-7506-8152-7.
4. Dowling, Edward T. Schaum's Outline of Theory and Problems of Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences. McGraw-Hill Professional. 1990: 160. ISBN 0-07-017673-6.
5. Hirst, Keith. Calculus of One Variable. Birkhäuser. 2006: 97. ISBN 1-85233-940-3.
6. Blank, Brian E. Calculus, single variable. Springer. 2006: 457. ISBN 1-931914-59-1.
7. Williamson, Benjamin. An Elementary Treatise on the Differential Calculus. BiblioBazaar, LLC. 2008: 25–26. ISBN 0-559-47577-2.

外部連結

• 网易公开课：对数微分法. 網易. [2014-11-26]. （原始內容存檔於2020-01-07）.
• 对数之微分法（高中文理科）. Youtube. [2014-11-26]. （原始內容存檔於2016-03-14）.
• Differentiation by taking logarithms – Teach yourself. mathcentre.ac.uk. [2012-01-03]. （原始內容存檔於2020-10-26）.
• Logarithmic differentiation. [2009-03-10]. （原始內容存檔於2020-11-27）.
• Calculus I – Logarithmic differentiation. [2009-03-10]. （原始內容存檔於2021-01-03）.