雙四角錐柱

雙四角錐柱是指以四邊形為基底的雙角錐柱，其可以由四角柱在兩端各連接一個底面大小相同的四角錐來構成。若雙四角錐柱的基底為正方形，且側面都是正多邊形的話，則這個立體是一種全部由正多邊形組成的立體，為92種詹森多面體中的其中一個，其索引為J₁₅^[1]。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英語：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述^[2]。

雙四角錐柱

類別	詹森多面體 J14 - J15 - J16
對偶多面體	雙四角錐台
識別
名稱	雙四角錐柱
參考索引	J15
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	esquidpy
性質
面	12
邊	20
頂點	10
歐拉特徵數	F=12, E=20, V=10 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	8個三角形 4個正方形
頂點圖	2個(34) 8個(32.42)
對稱性
對稱群	D4h, [4,2], (*422)
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	D4, [4,2]+, (422)
圖像
雙四角錐台 （對偶多面體） （展開圖）
閱 論 編

雙四角錐柱因其形似鉛筆又稱為鉛筆立方體（pencil cube）或12面鉛筆立方體（12-faced pencil cube） ^[3]:46-47[4]

性質

雙四角錐柱共由12個面、20條邊和10個頂點組成^[5][6][7]，在其12個面中，有8個三角形面和4個正方形面^[5]。在其10個頂點中，有兩種頂點，一種頂點為4個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[3⁴]來表示^[8]，這種頂點有2個^[7]、另外一種頂點為2個三角形和2個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[3²,4²]來表示^[8]，這種頂點有8個^[7]。

體積與表面積

若一個雙四角錐柱邊長為${\displaystyle L}$，則其體積${\displaystyle V}$與表面積${\displaystyle A}$為：^[9]

${\displaystyle V=L^{3}\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx L^{3}\cdot 1.471404521}$

${\displaystyle A=L^{2}\cdot \left(4+2{\sqrt {3}}\right)\approx L^{2}\cdot 7.464101615}$

這樣的雙四角錐柱整體的高${\displaystyle H}$為：^[9]

${\displaystyle H=L\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx L\cdot 2.414213562}$

二面角

雙四角錐柱共有3種二面角，分別為三角形和正方形的二面角、三角形和三方形的二面角以及正方形和正方形的二面角^[8]。其中正方形和正方形的二面角為直角，即90度角。^[8]

${\displaystyle \angle }$正方形${\displaystyle ,}$正方形${\displaystyle \,=90^{\circ }}$

而三角形和正方形的二面角為負根號三分之二的反餘弦值，約為144.7356度：^[8]

${\displaystyle \angle }$三角形${\displaystyle ,}$正方形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.735610^{\circ }}$

三角形和三方形的二面角為負三分之一的反餘弦值，約為109.471度：^[8]

${\displaystyle \angle }$三角形${\displaystyle ,}$三方形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.9106332\approx 109.471221^{\circ }}$

頂點座標

若一個雙四角錐柱邊長為單位長，且幾何中心位於原點，則其頂點座標為：^[10][8]

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\,0,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)}$

相關多面體

一種非正多邊形面的雙四角錐柱的特例是空間填充多面體。這種雙四角錐柱的三角形面不是正三角形，三角形的邊長比為${\displaystyle 2:{\sqrt {3}}:{\sqrt {3}}}$。^[3]

其可以被認為是立方體堆砌和菱形十二面體堆砌之間的過渡立體^[3]:46-47。其胞在下圖中根據它們在空間中的方向被著色為白色、紅色和藍色。其四角錐帽具有的面是較短的等腰三角形面，其中6個四角錐帽會聚在一起形成一個立方體。這種堆砌體的對偶是由兩種八面體（正八面體和三角反稜柱）組成的，由八面體疊加到截半的立方體堆砌的中的截半立方體中形成。兩種堆砌體都具有${\displaystyle \left[\left[4,3,4\right]\right]}$對稱性。

雙四角錐柱堆砌

一半的堆砌

倒角正方形鑲嵌

雙四角錐柱可以視為二側錐的四角柱，也就是底面為四邊形之柱體對應的二側錐柱體，其他的二側錐柱體有：

二側錐柱體

側錐方式	3	4	5	6	7	8
鄰
	二側錐三角柱	鄰二側錐四角柱	鄰二側錐五角柱	鄰二側錐六角柱	鄰二側錐七角柱	鄰二側錐八角柱
間	-	-
			間二側錐五角柱	間二側錐六角柱	間二側錐七角柱	間二側錐八角柱
對	-		-		-
		對二側錐四角柱		對二側錐六角柱		對二側錐八角柱
1,4	-	-	-	-
					1,4-二側錐七角柱	1,4-二側錐八角柱

參見

• 詹森多面體
• 正多面體
• 正四角錐
• 正六面體

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. (編). Elongated Square Dipyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
2. Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英語：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
3. Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. Thames & Hudson. ISBN 978-0500340332.
4. Goldberg, Michael. On the space-filling octahedra. Geometriae Dedicata. 1981-01, 10 (1): 323–335 [2022-09-07]. doi:10.1007/BF01447431. （原始內容存檔於2017-12-22）.
5. David I. McCooey. Johnson Solids: Elongated Square Dipyramid. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-07）.
6. The Elongated Square Bipyramid. qfbox.info. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-07）.
7. Elongated square bipyramid. polyhedra.tessera.li. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-07）.
8. Richard Klitzing. elongated square dipyramid, esquidpy. bendwavy.org. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-11-14）.
9. Sapiña, R. Area and volume of the Johnson solid J₁₅. Problemas y ecuaciones. [2020-09-09]. ISSN 2659-9899. （原始內容存檔於2022-08-22） （西班牙語）.
10. David I. McCooey. Data of Elongated Square Dipyramid. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-07）.