對數正態分布

在概率論與統計學中，任意隨機變量的對數服從正態分布,則這個隨機變量服從的分布稱為對數正態分布。如果 ${\displaystyle Y}$ 是正態分布的隨機變量，則 ${\displaystyle \exp(Y)}$（指數函數）為對數正態分布；同樣，如果 ${\displaystyle X}$ 是對數正態分布，則 ${\displaystyle \ln X}$為正態分布。 如果一個變量可以看作是許多很小獨立因子的乘積，則這個變量可以看作是對數正態分布。一個典型的例子是股票投資的長期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。 對於 ${\displaystyle x>0}$，對數正態分布的概率密度函數為

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}$

對數正態分布

機率密度函數 μ=0
累積分布函數 μ=0
參數	${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ${\displaystyle -\infty \leq \mu \leq \infty }$
值域	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\!}$
機率密度函數	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left[\ln(x)-\mu \right]^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
累積分布函數	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}$
期望值	${\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$
中位數	${\displaystyle e^{\mu }}$
眾數	${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$
變異數	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$
偏度	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}$
峰度	${\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6}$
熵	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }$
動差母函數	(參見原始動差文本)
特徵函數	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

其中 ${\displaystyle \mu }$ 與 ${\displaystyle \sigma }$ 分別是變量對數的平均值與標準差。它的期望值是

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$

方差為

${\displaystyle \mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,}$

給定期望值與方差，也可以用這個關係求 ${\displaystyle \mu }$ 與 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).}$

與幾何平均值和幾何標準差的關係

對數正態分布、幾何平均數與幾何標準差是相互關聯的。在這種情況下，幾何平均值等於 ${\displaystyle \exp(\mu )}$，幾何標準差等於 ${\displaystyle \exp(\sigma )}$。

如果採樣數據來自於對數正態分布，則幾何平均值與幾何標準差可以用於估計置信區間，就像用算術平均數與標準差估計正態分布的置信區間一樣。

置信區間界	對數空間	幾何
3σ 下界	${\displaystyle \mu -3\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}}$
2σ 下界	${\displaystyle \mu -2\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}}$
1σ 下界	${\displaystyle \mu -\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }}$
1σ 上界	${\displaystyle \mu +\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }}$
2σ 上界	${\displaystyle \mu +2\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}}$
3σ 上界	${\displaystyle \mu +3\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}}$

其中幾何平均數 ${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )}$，幾何標準差 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )}$

矩

原始矩為：

${\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}}$

或者更為一般的矩

${\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}$

局部期望

隨機變量 ${\displaystyle X}$ 在閾值 ${\displaystyle k}$ 上的局部期望定義為

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx}$

其中 ${\displaystyle f(x)}$ 是概率密度。對於對數正態概率密度，這個定義可以表示為

${\displaystyle g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)}$

其中 ${\displaystyle \Phi }$ 是標準正態部分的累積分布函數。對數正態分布的局部期望在保險業及經濟領域都有應用，著名的Black-Scholes期權定價公式便可由此推導出。

參數的最大似然估計

為了確定對數正態分布參數 ${\displaystyle \mu }$ 與 ${\displaystyle \sigma }$ 的最大似然估計，我們可以採用與正態分布參數最大似然估計同樣的方法。我們來看

${\displaystyle f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )}$

其中用 ${\displaystyle f_{L}(\cdot )}$ 表示對數正態分布的概率密度函數，用 ${\displaystyle f_{N}(\cdot )}$— 表示正態分布。因此，用與正態分布同樣的指數，我們可以得到對數最大似然函數：

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}}$

由於第一項相對於 ${\displaystyle \mu }$ 與 ${\displaystyle \sigma }$ 來說是常數，兩個對數最大似然函數 ${\displaystyle \ell _{L}}$ 與 ${\displaystyle \ell _{N}}$ 在同樣的 ${\displaystyle \mu }$ 與 ${\displaystyle \sigma }$ 處有最大值。因此，根據正態分布最大似然參數估計器的公式以及上面的方程，我們可以推導出對數正態分布參數的最大似然估計

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}$

相關分布

• 如果 ${\displaystyle Y=\ln(X)}$ 與 ${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}$，則 ${\displaystyle Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ 是正態分布。
• 如果 ${\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}}$ 是有同樣 ${\displaystyle \mu }$ 參數、而 ${\displaystyle \sigma }$ 可能不同的統計獨立對數正態分布變量 ，並且 ${\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}}$，則 ${\displaystyle Y}$ 也是對數正態分布變量：${\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)}$。

進一步的閱讀資料

• Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

參考文獻

• 對數正態分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
• Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
• 對數正態分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
• Eric W. Weisstein et al. 對數正態分布 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

參見

• 幾何平均數
• 幾何標準差
• 誤差函數