外測度

在數學中，特別是測度論中，外測度是一個定義在給定集合上的擴展實數值的函數，並滿足幾條附加條件。一般的外測度理論由C. Carathéodory引進，目的是給可測集和可數可加測度的理論建立基礎。C. Carathéodory關於外測度上所做的工作應用於測度理論中的集合論上（例如外測度用於證明Carathéodory擴張定理）。豪斯多夫也用此來定義一個類似維數的度量，現在稱為豪斯多夫維數。

從長度，面積及體積歸納出來的測度概念，對於很多抽象不規則的集合是很有用的。我們希望定義一個廣義的測度函數${\displaystyle \varphi }$,使其滿足以下4個條件：

1. 任意實數區間 ${\displaystyle [a,b]}$有測度${\displaystyle b-a}$；
2. 測度函數 ${\displaystyle \varphi }$是非負擴展實數值函數，定義在${\displaystyle \mathbb {R} }$的所有子集合上；
3. 平移不變性：任給集合${\displaystyle A}$和實數${\displaystyle x}$，${\displaystyle A}$與${\displaystyle A+x}$ 有相同的測度(這裡，${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$）；
4. 可數可加律：對${\displaystyle X}$的任意的兩兩無交的子集序列${\displaystyle \{A_{j}\}}$，有：

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})}$。

事實上，這幾條要求是不相容的。這樣的測度函數 ${\displaystyle \varphi }$不能定義在${\displaystyle \mathbb {R} }$的所有子集上，也就是說，不可測集是存在的。構造外測度的目的就是選出那些可測集合，使得可數可加性得到滿足。

定義

外測度是從 ${\displaystyle X}$ 的冪集合映到 ${\displaystyle [0,\infty ]}$的函數

${\displaystyle \varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]}$

且滿足以下條件：

• 空集合的外測度為零：

${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$

• 單調性：

${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)}$

• 次可加性: 對 X 的任意子集序列 ${\displaystyle \{A_{j}\}}$（不管兩兩交集是否空集合）

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})}$

接著可以藉由外測度來定義 X 中的可測集合：子集合 ${\displaystyle E\subseteq X}$ 是 ${\displaystyle \varphi }$-可測的，當且僅當對 ${\displaystyle X}$ 的任意子集合 ${\displaystyle A}$ 有：

${\displaystyle \varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c}).}$

所有的 ${\displaystyle \varphi }$-可測集合構成了一個${\displaystyle \sigma }$-代數 ，且如果 ${\displaystyle \varphi }$限制在我們剛定義的可測集合上時，${\displaystyle \varphi }$ 會有可數可加的完備測度性質。這個方法是Carathéodory構造出來的，是構造勒貝格測度和積分理論的重要方法。

外測度與拓撲學

假設 ${\displaystyle (X,d)}$是一個度量空間且 ${\displaystyle \varphi }$是一個在 ${\displaystyle X}$之上的外測度。若 ${\displaystyle \varphi }$有以下性質 ：

只要

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

就有

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

那麼稱${\displaystyle \varphi }$是一個度量外測度。

如果${\displaystyle \varphi }$是${\displaystyle X}$上的度量外測度，那麼${\displaystyle X}$的每個Borel子集都是${\displaystyle \varphi }$-可測的。

外測度的構造

有幾種方法來構造一個集合上的外測度。下面兩種是特別有用的。

令${\displaystyle X}$為一集合，${\displaystyle C}$是${\displaystyle X}$的包含空集的子集族，${\displaystyle p}$是${\displaystyle C}$上的非負擴展實數值函數，且${\displaystyle p}$ 在空集處取零。

那麼定義

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}}$

則${\displaystyle \varphi }$是一個外測度。

另一種方法在度量空間上更有效，因為它直接得到了度量外測度。設 ${\displaystyle (X,d)}$是一個度量空間，${\displaystyle C}$是${\displaystyle X}$的包含空集的子集族，${\displaystyle p}$是${\displaystyle C}$上的非負擴展實數值函數，且${\displaystyle p}$在空集處取零。那麼，對任意${\displaystyle \delta >0}$，令

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$

及

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

對${\displaystyle \delta \leq \delta '}$有${\displaystyle \varphi _{\delta }\geq \varphi _{\delta '}}$ 成立，因為${\displaystyle \delta }$減小時，下確界是在更小的集合上取得的。所以

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$

存在（可能是無窮大）。

這樣構造的${\displaystyle \varphi _{0}}$是一個度量外測度。這個構造也就是定義豪斯多夫維數時用的外測度。

參考

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953