歐德斯-史特勞斯猜想

歐德斯-史特勞斯猜想（Erdős–Straus conjecture），簡稱歐德斯猜想，是由匈牙利猶太數學家保羅·埃爾德什與德裔美國數學家恩斯特·史特勞斯（英語：Ernst G. Straus）於1948年共同提出的數論猜想，其陳述為：

對於任何一個大於1的整數${\displaystyle n}$，都有

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$ 。其中${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$為正整數。

例如，若n = 1801，則存在一組 x = 451、y = 295364、z = 3249004 的解，使得

${\displaystyle {\frac {4}{1801}}={\frac {1}{451}}+{\frac {1}{295364}}+{\frac {1}{3249004}}}$

在基本式子中，只需考慮 n = p 為素數的情況，因為若

${\displaystyle {\frac {4}{p}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.}$

成立，則對於大於 1 的整數 m

${\displaystyle {\frac {4}{pm}}={\frac {1}{xm}}+{\frac {1}{ym}}+{\frac {1}{zm}}}$

也會成立。

計算機已經驗證到 n ≤ 10¹⁷ 的情況^[1]，但此猜想還是有待證明。

歐德斯猜想的特別形式

• ${\displaystyle {\frac {4}{p}}={\frac {1}{a\times b}}+{\frac {1}{a\times c}}+{\frac {1}{a\times b\times c\times p}}}$

例如

${\displaystyle {\frac {4}{409}}={\frac {1}{63\times 2}}+{\frac {1}{63\times 13}}+{\frac {1}{63\times 2\times 13\times 409}}}$

參見

• 古埃及分數

參考文獻

1. Swett, Allan, The Erdos-Straus Conjecture, [2014-06-28], （原始內容存檔於2006-08-03）